nAnalogamente à transformada de Laplace para funções cujo domínio é contínuo (tempo contínuo), temos, para funções cujo domínio é discreto (tempo discreto), a transformada Z, a qual é definida formalmente do seguinte modo:
Seja uma seqüência
| { f(i) } = { f(0 ), f(1), f(2), ...} n |
(11a) |
Então a transformada Z desta "função
do tempo discreto" é
 |
(13) |
onde z
C.
A relação entre a transformada Z e a transformada de Laplace é estabelecida pelo seguinte:
Associemos a cada ponto da seqüência
um impulso unitário. Então temos a "função"
associada à seqüência:
 |
(11b) |
Onde 
é o intervalo de tempo entre 2 impulsos consecutivos.
Ora, sabemos que
Então, tomando a transformada de
Laplace de (11b), vem
 |
(12) |
Definindo 
|
(13 bis) |
Introduzindo a notação
,
vem
 |
(13 bis) |
Observe-se que z pode assumir qualquer valor em C tal que a soma exista. Assim a transformada de Laplace é útil para resolver equações diferenciais, a transformada Z é útil para resolver equações de diferença.
Precisamos saber, portanto, as propriedades
principais das transformadas Z.
Seja 
1) Seja 
.
Então
 |
(13.1) |
2)
 |
(13.2) |
Observação:
O análogo da propriedade anterior para o tempo contínuo é a integração, i.e., lembra-se que
Portanto um retardo no tempo de uma função do tempo discreto é o análogo de integração de uma função de tempo contínuo.
É de se esperar que o análogo
do avanço no tempo de uma função do tempo discreto
seja a derivação para função do tempo contínua.
Esta expectativa é correta, pois temos:
3)
 |
(13.3) |
Observe-se que há uma pequena diferença na analogia com relação ao tempo contínuo: z f(0).
Vejamos qual a transformada Z de f(i+2)
Ora, definindo
De um modo geral, temos
4) Seja a convolução discreta
de duas seqüências definida como
 |
(13.4) |
Então,
 |
(13.5) |
5) Seja f(i) = 1 
inteiro não-negativo (degrau unitário)
Então
 |
(13.6) |
Ou seja, a transformada Z de um degrau
unitário é z/(z-1).
6) Vejamos a transformada Z de um pulso
unitário aplicado na origem, ou seja,
 |
 |
(13.7) |
Ou seja o resultado é o mesmo da
transformada de Laplace de um impulso unitário aplicado na origem
7) Seja agora um pulso de "duração" N, ou seja,
Trata-se portanto de
Ora, como vimos
Por outro lado, vimos que
 |
(13.8) |
8) Seja a "seqüência geométrica", i.e.,
f(i) = ai
(esta seqüência será crescente em módulo se |a|>1 e decrescente em módulo se |a|<1. Se a = 1, temos o "degrau discreto", visto acima. Se a = - 1 temos uma seqüência alternada de 1’s e -1’s.)
Ora,
 |
(13.9) |
9) Vejamos a "rampa geométrica", i.e.
f(i) = i.ai-1, i = 0, 1, 2, ...
Definamos g(i) = ai
Então, 
Mas vimos em (13.9) que
 |
(13.10) |
10) Seja agora a rampa discreta, i.e.,
f(i) = i , i = 0,1, 2, ...
É claro que basta usar (13.10) com
a = 1, obtendo
 |
(13.11) |
Vejamos como resolver equações de diferenças usando transformada Z.
Seja novamente o sistema discreto definido por| x(k+1) = A.x(k) + B.u(k)
y(k) = C.x(k) |
(3 bis) |
Aplicando transformada Z a este sistema
de equações, temos, em vista de (13.3)
 |
(14) |
E portanto,
 |
(15) |
Se x(0) = 0, temos
Seja
 |
(16) |
Tal como no caso do tempo contínuo, H(z) é a matriz de transferência do sistema, i.e., é a relação entre as transformadas Z da resposta e do comando com condições iniciais nulas.
Ora, vimos que a transformada Z de um pulso unitário aplicado na origem é 1. Consequentemente, H(z) é a transformada Z da resposta do sistema a um pulso unitário aplicado na origem.
Mas vimos em (10) que a resposta do sistema
a um pulso unitário aplicado na origem é
| H(i) = C.Ai-1.B, i = 1, 2, 3, ... | (10 bis) |
Então, em vista de (16) e do que foi dito acima,
C.(z.I - A)-1.B = Z[C.Ai-1.B]
Tal como em sistemas de tempo contínuo, as transformações de estado também são muito úteis no estudo dos sistemas de tempo discreto
Seja 
(i)
= Q.x(i)
Com Q não-singular. Substituindo
x(i) = Q-1.(i) em
| x(k+1) = A.x(k) + B.u(k)
y(k) = C.x(k) |
(3 bis) |
obtemos
| (i+1)
= Q.A.Q-1.(i) + Q.B.u(i)
y(i) = C.Q-1. (i) |
(19) |
Seja 
É fácil verificar que
 i
:= Q.Ai.Q-1 |
(20) |
Consequentemente
 |
(20a) |
Ou seja, a resposta ao pulso aplicado na origem (i.e. em k=0) é invariante sob transformação de estado, tal como em sistemas de tempo contínuo. E o mesmo acontece, é claro, com a matriz de transferência.
Seja o sistema (3) com u(i) = 0
x(i + 1) = A.x(i)
Dizemos que o sistema é assintoticamente
estável (AE) se
 |
(21) |
Trata-se, portanto da mesma definição que a dos sistemas de tempo contínuo.
É evidente que a estabilidade assintótica
é invariante sob transf. de estado, i.e., (3) é AE se só
se (19) também o for. Com efeito, de
= Q.x e x = Q-1.
temos 
.
Suponhamos que a matriz A do sistema seja
diagonalizável (o que ocorre se só se os seus vetores próprios
forem l.i.). Seja Q-1 a matriz formada com os auto-vetores de
A. Seja a transf. de estado
= Q.x .Então, com u = 0, vem x(i+1) = A.x(i), onde
 |
(22) |
Ora, de (7) vimos que a solução
de (22) é
 |
(23) |
onde (0)
:= o
Seja 
 |
(23) |
Disto é fácil concluir que:
Teorema:
O sistema (22) (e, portanto, o sistema
(3) é AE se e somente se
 |
(24) |
Então, acabamos de provar que para sistemas de tempo discreto, a parte "boa" do plano complexo é o interior do círculo unitário. Assim, o sistema é AE se, e somente se, todos os seus autovalores estiverem no interior do círculo unitário.
A parte "ruim" do plano complexo é
o complemento do interior do círculo unitário.
O sistema que tem os pólos acima é AE. Se algum pólo estivesse sobre ou do lado de fora do círculo unitário, o sistema não seria AE.
Consequentemente, o interior do círculo unitário, para sistemas de tempo discreto, faz às vezes do semi-plano aberto da esquerda para sistemas de tempo contínuo. O complemento do interior do círculo unitário, para sistemas de tempo discreto, faz às vezes do semi-plano fechado da direita para sistemas de tempo contínuo.
Segue um exemplo
Seja
= interior do círculo unitário e 
:= seu complemento.
Será que existe um mapeamento de
para 
e
de para 
?
A resposta, afirmativa, é dada pelo seguinte:
Lema:
A função 
mapeia
em e mapeia 
em 
.
Observação:
Esta transformação
é chamada transformação de Möbius.
A transformação de Möbius
é importante para analisar a estabilidade de um sistema através
do critério de Hurwitz. Com efeito, dado o polinômio característico
de um sistema de tempo discreto, para verificar se seus zeros estão
todos no interior do círculo unitário, aplique-se a transformação
de Möbius e verifique-se se no polinômio resultante temos todos
os zeros em .
Começaremos com a controlabilidade. Lembra-se que, para sistemas de tempo contínuo, um sistema é controlável se existir um controle que transfira em tempo finito um estado inicial (arbitrário) para a origem. Vimos, também, que o sistema é alcançável se existir um controle que transfira em tempo finito o estado da origem para um estado final arbitrário.
As definições são
as mesmas para sistemas de tempo discreto, mas, como veremos adiante, as
condições não são equivalentes. O resultado
seguinte, entretanto apresenta como condição para controlabilidade
e alcançabilidade a mesma condição para os sistemas
de tempo contínuo.
Teorema 3:
Dados x0 e x1,
arbitrários, existe um controle {u(i)} que transfere o estado do
sistema de x(0)=x0 para x(n) = x1, se, e somente
se, a matriz de controlabilidade.
 |
(26) |
tiver posto n
Neste caso o sistema é dito controlável e alcançável.
Um controle { u(i) } que faz a transferência
de x0 a x1 em n passos é
 |
(27) |
Observação:
n é a dimensão de A. Se o sistema é controlável e alcançável, pode-se fazer a transferência de estado de x0 para x1 num número de passos maior ou igual a n. Não há garantia que o sistema possa ser transferido em no de passos menor que n. (Isto será possível, eventualmente, dependendo de x0 e x1).
Observações:
É claro que (30) também tem solução se aumentarmos a matriz à esquerda até AkB, com k > n-1. Por outro lado, vimos também que se B tiver posto cheio, então
Posto [ PC ] = Posto [ B, A B, … , An-m B ].
Então, se m > 1 e Posto B = m, pode-se transferir o sistema de x0 e x1 (arbitrários) em (n-m+1) passos.
Os testes PBH valem também, é
claro, para sistemas de tempo discreto. O mais importante é o teste
do posto, que repetimos aqui.
Lema (teste do posto PBH):
O sistema x(i+1) = A x (i) + B u(i) é controlável e alcançável se, e somente se,
Posto [z I – A | B] = n 
.
Como já foi observado, este teste permite muitas vezes, principalmente quando A e B têm muitos zeros, uma verificação rápida, por simples inspeção.
Vejamos agora a observabilidade:Teorema 4:
Seja o sistema (3) com controle nulo. Se
o estado for desconhecido, ele pode ser determinado por meio de {y(0),...,y(n-1)}
se, e somente se, a matriz de observabilidade:
 |
(31) |
tiver posto cheio (n). Neste caso o sistema
é dito observável e reconstruível e o seu estado pode
ser determinado por
 |
(32)
(33) |
Observações:
As mesmas feitas a respeito da controlabilidade, i.e.,
Se Posto [C] = p não é preciso ir até C.An-1, etc.
Se u(i) 
0 , então, ao invés de y(1), y(2), ..., y(n-1) em (32), devemos
usar, em vista de (8) da seção 13.2.
y(1) – C B u(0), y(2) – C A B u(0), ….,
, respectivamente,
Analogamente, ao caso de tempo contínuo,
temos também para sistemas de tempo discreto:
Lema (Teste PHB do posto):
O sistema de tempo discreto x(i+1) = A x(i), y(i) = C x(i) é observável e reconstruível se, e somente se,
Vários resultados do capítulo 10 sobre controlabilidade e observabilidade se aplicam aqui. Assim, controlabilidade e observabilidade de sistemas discretos são evidentemente propriedades duais. Valem também é claro, para sistemas discretos a invariância da controlabilidade e da observabilidade sob transformação de estado. As formas canônicas controlável e observável são, evidentemente, as mesmas. Idêntica também a decomposição canônica em sub-sistemas controlável, não-controlável, observável, não-observável e suas combinações.
Mas há uma diferença importante entre sistemas de tempo discreto e contínuo e que é a seguinte: enquanto nos sistemas de tempo contínuo com parâmetros ctes. controlabilidade e alcançabilidade são perfeitamente equivalentes (i.e. o sistema é controlável se só se for alcançável), isto não é verdade nos tempos de tempo discreto. Com efeito, de (29) temos
Se An = 0 então x(n) = 0 com u(n-1) = ... = u(1) = u(0) = 0, qq. que seja x(0) e qq. que seja Posto [Pc].
Consequentemente Posto [Pc] = n não é condição necessária para a controlabilidade, se A for nilpotente.
Mas por outro lado, com x(0) = 0, temos
Então, se x(n) for escolhido arbitrariamente a equação acima tem solução para o controle se só se Posto [Pc] = n. Portanto Posto[Pc] = n é condição necessária (e suficiente) para a alcançabilidade. Consequentemente controlabilidade e alcançabilidade não são equivalentes em sistemas de tempo discreto.
Tal como nos sistemas de tempo contínuo, podemos realimentar os sistemas de tempo discreto com a resposta (u(i) = Ly(i) + v(i)) ou com o estado (u(i) = Kx(i) + v(i)).
Com realimentação de estado podemos posicionar arbitrariamente todos os pólos do SMF caso o sistema seja alcançável. Um caso particular interessante de realimentação de estado é aquele em que posicionamos todos os pólos do sistema na origem:
(A
+ B.K) = {0, 0, ...,0}
A equação com realimentação de estado é
x(i+1) = (A + BK) x(i) +Bv(i) , i=0, 1, 2, …
Com v(i) = 0, i=0, 1, 2,…, vem
x(i+1) = (A + BK) x(i) , i=0, 1, 2, …
cuja solução, como sabemos,
é
| x(i) = (A + BK)i x(0) | (38) |
Ora, se todos os pólos do sistema (auto-valores de A + BK) estão na origem, a equação característica do sistema é
n
= 0
Mas de acordo com o teorema de Caley-Hamilton, toda matriz satisfaz à sua equação característica. Então,
(A + BK)n = 0
Disto e de (38), vem
x(i) = 0,  n |
(39) |
Então, qq. que seja o estado inicial, o estado do sistema vai a zero em (no máximo) n passos. Tal controle (que leva os a.v.’s do sistema para a origem) é chamado "deadbeat controle".
Tal como em sistema de tempo contínuo, podemos construir observadores (de ordem cheia e de ordem reduzida) para sistemas de tempo discreto. Colocando os pólos do observador na origem por meio de "ganho" conveniente, i.e., escolhendo a matriz L (no caso do observador de ordem n) tal que todos os pólos de A + LC estejam na origem, obtém-se o chamado observador "deadbeat": neste caso o estado estimado iguala o estado do sistema em (no máximo) n passos. Se for usado observador de ordem reduzida, o sub-estado iguala o sub-estado do sistema em (no máximo) n-p passos.