A função  mapeia  em e mapeia  em .

Observação:

Esta transformação  é chamada transformação de Möbius.

Prova:

Exprimamos z em coordenadas polares, i.e.,
 

(25)

Ora, disto temos
 

(25a)

A indeterminação no valor de Im[s], correspondente a r = 1 e = 0, é levantada usando diretamente z = 1.

em  , obtendo-se 

Para a análise dos valores com r > 1 e com r < 1, observe-se primeiramente que

Se cos< 0, r² + 1 - 2rcos> 0

Se cos0, r² + 1 - 2rcosr² + 1 - 2r = (r - 1)² > 0 se r  1.

Portanto, o denominador de (25) é sempre positivo se r  1.

Então, é claro de (25) que

Re[s] < 0 se r < 1

Re[s] > 0 se r > 1,

concluindo a prova.