Seja o sistema (3) com controle nulo. Se o estado for desconhecido, ele pode ser determinado por meio de {y(0),...,y(n-1)} se, e somente se, a matriz de observabilidade:
 

(31)

tiver posto cheio (n). Neste caso o sistema é dito observável e reconstruível e o seu estado pode ser determinado por
 

(32)         (33)

Observações:

As mesmas feitas a respeito da controlabilidade, i.e.,

Se Posto [C] = p não é preciso ir até C.A^n-1, etc.

Se u(i)  0 , então, ao invés de y(1), y(2), ..., y(n-1) em (32), devemos usar, em vista de (8) da seção 13.2.

y(1) – C B u(0), y(2) – C A B u(0), ….,

respectivamente,

Prova:

De (8) com u(i) = 0, vem
 

(35)

Ora, esta equação tem solução (única) se, e somente se, Posto [P_o] = n. E, é claro que se esta condição for satisfeita, temos,

onde P_o^-L é uma inversa à esquerda de P_o.

É claro que (P_o^T P_o)^-1 é uma tal inversa à esquerda, pois (P_o^T P_o)^-1P_o^T P_o = I.

Observe-se que P_o^-L, inversa à esquerda de P_o, não é única, mas x(0) o é: com efeito, P_o tem n (e somente n) linhas l.i. Formando-se n equações l.i. em (35), obtém-se x(0) único.