Seja o satélite já estudado anteriormente em órbita circular, equatorial. Vimos que as pequenas perturbações nesta órbita de equilíbrio, dão origem às seguintes equações lineares.
 

(40)

onde
 

(41)

sendo r a perturbação do raio e  o ângulo entre o plano da órbita e o plano equatorial. u_r e u são forças aplicadas no sentido radial e perpendicular ao plano de órbita, respectivamente. Para facilitar os cálculos, suponha que a unidade de tempo seja 1 dia. Supondo que o satélite é geo-estacionário, o período de movimento é 1 e, portanto, . Então vimos no capítulo 4^o que:
 

(42)

Suponha que (40) seja controlado "discretamente", a saber, o controle é aplicado a intervalos discretos, constando de impulso a cada instante discreto.

As medidas (de estado e resposta, conforme o caso), são feitas também a intervalos discretos, imediatamente antes da aplicação do controle.

Com isto, obtém-se o sistema de tempo discreto
 

x(i+1) A.x(i) + B.u(i) y(i) = C.x(i)

(43)

onde A e B são dados por (5) e C é o mesmo de (40).

Suponha que o intervalo de amostragem seja = 1, i.e., os foguetes são acionados 1 vez por dia (imediatamente depois das medidas, como foi observado acima).

Ora, de (5) e (42) com  no lugar de t ( t = 1), vem:

Vimos no capítulo 10^o que o sistema em tempo contínuo é controlável. Mas isto não garante que o sistema discreto, resultado da amostragem, também o seja.

Apliquemos o teste PBH

É claro que Posto [I - A:B] < 4 e, portanto, o sistema não é alcançável. É fácil ver que este sistema também não é controlável porque Aⁿ 0.

Vejamos se o sistema é observável/reconstruível

E aqui também . Portanto o sistema não é observável/reconstruível.

Suponha agora que o período de amostragem passa a ser o de meio órbita, ou seja, meio dia. Então .

Obtém-se agora
 

(48)

(49)

A matriz de controlabilidade agora é
 

(50)

É fácil verificar que as 4 primeiras colunas são l.i. e portanto o sistema é controlável/alcançável.

Já a matriz de observabilidade é:

É fácil ver que as 4 primeiras linhas são l.i. e portanto o sistema é observável/reconstruível.

Pode-se conferir que o sistema não é controlável só por u (Verificar!), o que ocorria, como vimos no capítulo 10, com o sistema de tempo contínuo.

Mais ainda, o sistema não é observável com  sozinho, o que ocorria com o sistema de tempo contínuo.

Entretanto, com = 1/4, obtém-se um sistema discreto que é alcançável por u e observável por .

Vamos agora aplicar a realimentação de estado ao sistema com = 1/2.

Com u(i) = K x(i) (52)

obtém-se, em vista de (48) e (49),
 

x(i+1) = (A1 + B1K) x(i)

(53)

com
 

(54)

Como o sistema é alcançável e controlável, kij, i = 1, 2, j = 1, 2, 3, 4  t.q. os auto valores de A₁ + B₁K podem ser escolhidos arbitrariamente.

Suponhamos que se queira todos os pólos do SMF (auto-valores de A₁ + B₁K) na origem, obtendo-se portanto o "deadbeat", ou seja o estado irá a zero em, no máximo, n intervalos de amostragem n/2 dias.

É fácil verificar que com

, obtém-se
 

(55)

É fácil verificar que, efetivamente,

Mais ainda, obtém-se
 

(56)

Portanto, após 3 "passos" (1 órbita e meia, ou seja, 1 dia e meio) o estado do sistema volta à posição de equilíbrio, i.e. órbita equatorial, circular. Como o sistema é de tempo contínuo, isto não impede, entretanto, que, entre os intervalos de amostragem, a órbita deixe de ser circular e equatorial. Na realidade, isto ocorre quase sempre em sistemas amostrados, são as ondulações ("ripple") entre os intervalos de amostragem.