Estruturas dos Sistemas Multivariáveis

Dualidade e Decomposição Canônica Do Espaço de Estado

Comparando os resultados das duas seções anteriores, vemos que há uma notável semelhança, do ponto de vista matemático, entre os conceitos de controlabilidade e observabilidade. Tal semelhança, chamada dualidade é evidenciada e definida com precisão no seguinte

Teorema da Dualidade (1):

Sejam os sistemas

= A . x + B . u
y = C . x
(1)

= A^T . z + C^T . v
w = B^T . z
(2)

Então o sub - espaço dos estados de controlabilidade do sistema (1) é idêntico ao sub-espaços dos estados observáveis do sistema (2). E o sub - espaço dos estados observáveis do sistema (1) é idêntico ao sub - espaço dos estados controláveis do sistema (2).

Consequentemente (1) é controlável se só se (2) for observável e vice-versa, ou seja, (1) é observável e vice-versa, ou seja, (1) é observável se só se (2) for controlável.

Ver Prova

O conceito de dualidade entre controlabilidade e observabilidade se revela muito útil para a análise de sistemas lineares, como veremos ao longo deste curso.

O 2^otópico desta seção, decomposição canônica, é precedido pelo seguinte resultado

Lema 2:

O sistema

= A . x + B . u
y = C . x

é controlável (observável) se só se o sistema

= Q . A . Q^-1 . + Q . B . u
y = C . Q^-1 .
(6)

for controlável (observável), onde Q ^nxn, é não-singular.

Além disto, os sub-espaços dos estados controláveis (observáveis) dos sistemas (5) e (6) têm a mesma dimensão.

Ver Prova

Voltemos ao sistema (5). Suponha que a sua matriz de controlabilidade, que chamaremos de P_c, tenha posto k.

Seja {p₁ , p₂ , ... p_k} um conjunto de vetores que formam uma base para R[P_c].

Sejam {p_{k + 1} , p_{k +
2} , ..., p_k} um conjunto de vetores que formam uma base para o complemento ortogonal de R[P_c], isto é, , o qual é o sub - espaço dos estados incontroláveis.

É claro que p₁ , p₂ , ... p_n são l.i. Definamos então

Q^{- 1} : = [p_{k + 1} , p_{k + 2} , ... p_k]
(8)

Definamos também

(9)

Então, disto e de (8),

(10)

Note-se que também temos de (9):

(11)

O efeito da transformação de estado (9) sobre as equações de estado é dado pelo seguinte teorema.

Teorema 3:

Se a transformação de estado (9) for aplicada ao sistema

= A . x + B . u
y = C . x
(12)

então as equações de estado resultantes têm a forma

(13)

onde o sub-sistema de dimensão k

(14)

é (completamente) controlável por u, enquanto que o sistema de dimensão n - k

(15)

é completamente incontrolável.

Os polos do sistema são os auto-valores de ₁₁, ditos modos controláveis e os de ₂₂, ditos modos incontroláveis .

Ver Prova

Vejamos um exemplo

Exemplo 6

De acordo com as equações (13) o sistema pode ser representado pelo seguinte diagrama de blocos:

Isto confirma o que foi visto no exemplo acima. É claro que a parte incontrolável não contribui para a matriz de transferência, uma vez que esta é uma relação entre resposta e controle, com condições iniciais nulas.

Vamos calcular a matriz de transferência utilizando as equações (13). (Sabemos que transformação de estado não altera a função de transferência).

Portanto, com condições iniciais nulas o sistema se comporta como o seguinte sistema, bem mais simples que o original (comparar com o diagrama de bloco anterior):