Suponha que o sistema seja controlável e observável. Então,

Estabilidade Assintótica <==> Bibo-estabilidade.
 

Prova:

(Daremos uma prova heurística, não rigorosa)

Trata-se, como sempre neste capítulo, de sistemas na forma

= A . x + B . u
y = C . x

Basta provar que Bibo-estabilidade ==> Estabilidade Assintótica se o sistema for controlável e observável, uma vez que a implicação EA ==> BE já foi provada no 1^o curso e independe da condição de controlabilidade e observabilidade do sistema.

A prova é intuitiva a partir do teorema (4), ou melhor, do corolário (5): se o sistema é controlável e observável, então sua "parte" que contribui para a matriz de transferência é ele próprio, ou seja, H(s) = C(sI - A) ^{- 1} B onde A = A ₂₂ (ver Corolário (5)).

Neste ponto lembra-se que um sistema é BE se todos os polos da sua matriz de tranferência estiverem em , ou ainda, se todos os polos de cada um dos elementos da sua matriz de tranferência estiverem em . Mas do fato que , tem-se então que todos os zeros de |sI - A| então  e, portanto, o sistema é AE.