= A . x + B . u y = C . x

(1)

= AT . z + CT . v w = BT . z

(2)

Então o sub - espaço dos estados de controlabilidade do sistema (1) é idêntico ao sub-espaços dos estados observáveis do sistema (2). E o sub - espaço dos estados observáveis do sistema (1) é idêntico ao sub - espaço dos estados controláveis do sistema (2).

Consequentemente (1) é controlável se só se (2) for observável e vice-versa, ou seja, (1) é observável e vice-versa, ou seja, (1) é observável se só se (2) for controlável.

Prova:

Sabemos que o sub - espaço dos estados controláveis de (1) é
 

R [B, A.B, ..., An-1B]

(3)

Enquanto que o sub - espaço dos estados observáveis de (1) é
 

R [CT, AT.CT, (AT)2.CT, ..., (AT)n-1.CT]

(4)

É claro que o sub - espaço dos estados controláveis de (2) é dado por (4) enquanto que o sub - espaço dos estados observáveis de (2) é dado por (3).