Aplique-se a transformação de estado (28) ao sistema

= A . x + B . u
y = C . x

Obtém-se
 

(30)

onde o sub-sistema de dimensão 
 

(31)

é completamente inobservável, enquanto que o sub-sistema de dimensão n - 
 

(32)

é (completamente) observável
 

Prova:

É análoga à anterior. Vamos apresentar uma prova diferente, indireta, baseada no teorema anterior (3) e no teorema da dualidade.

Considere-se o sistema, dual de (29),

= A^T . z + C^T . v
w = B^T . z

É claro que o sub - espaço controlável deste sistema tem dimensão n -  . Então, usando a transformação de estado do teorema (3), obtém-se
 

(32a)

onde    (32b)

tem dimensão n -  e é completamente controlável, enquanto que o sub-sistema  de dimensão , é completamente incontrolável.

Ora, o dual de (32a) é

(sendo dual do dual, voltou-se ao sistema original: por isso temos acima u e y)

Definamos: 

As equações acima passam a ser

Definindo  obtemos as equações (30), i.e.
 

(30bis)

A matriz de observabilidade deste é

Mas note-se que 

Portanto,

Ora, esta matriz tem posto n -  e portanto P_o também tem. Então o sub - espaço dos estados observáveis de (30) tem dimensão n -  , concluindo a prova.