O sistema

= A . x + B . u
y = C . x

é controlável (observável) se só se o sistema
 

= Q . A . Q-1 .  + Q . B . u y = C . Q-1 .

(6)

for controlável (observável), onde Q ^nxn, é não-singular.

Além disto, os sub-espaços dos estados controláveis (observáveis) dos sistemas (5) e (6) têm a mesma dimensão.

Prova:

Observe-se inicialmente que  = Q . x.

Sejam P _C5 e P _C6 as matrizes de controlabilidade dos 2 sistemas
 

PC5 = [B, A.B, ..., An-1.B]

PC6 = [Q.B.Q-1, Q.AQ-1.Q.B, Q.AQ-1.Q.B, ..., (Q.A.Q-1)n-1.B]

= Q.PC5

Como Q é não-singular, temos
 

Posto[PC6] = Posto[PC5]

Consequentemente, os sub-espaços de controlabilidade têm a mesma dimensão. E, como caso particular, (5) é (completamente) controlável se só se (6) também for.

Para a observabilidade, lembra-se que o sub - espaço dos estados observáveis é dado pela imagem de
 

P06 = [CT, AT.CT, ..., (AT)n-1.CT]

etc...