Seja novamente o exemplo (1) da 1^a seção:
 

(37)

Ora,
 

(38)

É claro que este sistema não é (completamente) controlável. O sub - espaço controlável tem dimensão 1 e o sub - espaço incontrolável, também.

Vamos achar uma transformação de estado que decomponha o sistema em 2 sub-sistemas, um controlável e o outro incontrolável. Ora, de (38) é claro que uma base para o sub - espaço controlável é

Vejamos quem é o sub - espaço incontrolável.

Sabemos que o sub - espaço incontrolável é .

De (38),

Então,

Vamos agora achar as equações de estado transformadas de acordo com  = Q.x.

Ora,

Então o sistema é

Então o sistema é representável pelo seguinte diagrama de blocos:

Repare-se que o 2^o sub-sistema está "solto", i.e, não é afetado pelo controle e, por isto mesmo, é incontrolável. Este fato estava camuflado nas equações de estado (37). Com a decomposição operada pela transformação de estado, ele fica claro.

Recorda-se agora que a função de transferência de um sistema é a relação entre as transformadas de Laplace da resposta (y) e do controle (u).

Ora, do diagrama de blocos acima, é claro que o 2^o sub-sistema não contribui para a função de transferência. Vamos conferir isto, calculando a função de transferência na representação de estado original:

Então, efetivamente, o "modo incontrolável" (s=-3) "dançou" na função de transferência. Esta só tem o "modo controlável" s=-1, como era de se esperar.

(Lembra-se ainda que a função de transferência é invariante sob transformação de estado).