Se a transformação de estado (9) for aplicada ao sistema
 

= A . x + B . u y = C . x

(12) = (5)

então as equações de estado resultantes têm a forma
 

(13)

onde o sub-sistema de dimensão k
 

(14)

é (completamente) controlável por u, enquanto que o sistema de dimensão n - k
 

(15)

é completamente incontrolável.

Os polos do sistema são os auto-valores de ₁₁ , ditos modos controláveis e os de ₂₂, ditos modos incontroláveis .
 
 

Prova:

Primeiramente vamos provar que z  R[P_c] A.z  R[P_c}. (16)

Com efeito, sejam ₁, ₂, ..., _nm   tais que
 

Mas de acordo com o teorema de Caley-Hamilton  tais que
 

Aplicando este fato, é claro que então as k primeiras colunas de
 

AQ- 1 = [Ap1 , Ap2 , ..., Apn ]

(17)

pertencem a R[P_C ].

Sejam q_i^T as linhas de Q, i.e.,
 
 

(18)

Então, de Q Q ^-1 = I, em vista de (8), temos
 

(19)

Além disto, se z  R [P_c], então z é uma combinação linear de p₁, p₂ , ... p_k e, portanto, em vista de (19), vem:
 

qiT.z = 0,   i = k+1, k+2, ...,n

(20)

Então,
 

(21)

Esta igualdade mostra que o bloco (2,1) de  = Q.A.Q^-1 é efetivamente nulo (ver (13)). Este bloco é constituído pelos elementos comuns às n-k últimas linhas e k primeiras colunas de QAQ ^{- 1} .

Por outro lado, tendo em vista que as colunas de B pertencem a R[P_C ], de (20) concluimos que as últimas n - k linhas de  são nulas, confirmando (13).

Então já provamos que as equações de estado têm a forma (13). Mas então
 

(23)

Ora, por hipótese (e em vista do Lema (2)) esta matriz tem posto k.

Mas então a matriz [_1 11.₁   ... ₁₁^n-1.₁] também tem posto k. (24)

E, consequentemente, usando o teorema de Cayley-Hamilton,

P_c:= [_1 11.₁   ... ₁₁^k-1.₁] também tem posto k (25)

o que implica que o sub-sistema
 

1 = 11.1 + 1.u

(25a)

é completamente controlável

Mas de (13), vem
 

(25b)

Seja  o controle aplicado a (25a) que leva o estado inicial (arbitrário) ₁(0) à origem em tempo T.

Considere-se o sub-sistema regido por
 

1 = 11.1 + 1.u +12.2

(25c)

É claro que se aplicarmos o controle  a este sistema, obteremos por superposição, em vista de (25b):

Então, para obtermos ₁(T) = 0, basta aplicar a (25a) um controle que leve o estado de ₁(0) a

E isto prova que o sub-sistema (25c) é (completamente) controlável por u(t).

Que o sub-sistema (15) seja completamente controlável, é obvio, uma vez que ele não está submetido a controle.

Finalmente seja (.) a lista de auto-valores de uma matriz, chamado o spectrum da matriz.

Sabemos que (A) = (), onde  = Q.A.Q^-1

Por outro lado, de (13), vem
 

Concluindo a prova.