Começaremos a ilustrar este importante conceito por meio de um

Exemplo 1
 

A fonte é de tensão. Supondo v₁(0) = v₂(0), é claro que v₁(t) = v₂(t) .
Ou seja, não conseguimos controlar a tensão nos capacitores, independentemente uma da outra, qualquer que seja a tensão u(t) empregada. Neste caso dizemos que o vetor de estado [ v₁(t)    v₂(t) ]^T é incontrolável. Consequentemente o sistema (definido pelo vetor de estado) não é completamente controlável. Abreviando a linguagem, dizemos que o sistema não é controlável, ou seja, é incontrolável.

Passemos agora a um exemplo com uma representação mais abstrata de um sistema, a qual poderia representar um sistema elétrico, mecânico, etc.

Suponha nulas as condições iniciais.

Vamos calcular x(t); sabemos que

Sabemos que:    e^At = ^-1[(s I - A)^-1]

Ora,

É claro que este sistema não é controlável, porque as duas componentes do vetor de estado, x₁(t) e x₂(t), serão sempre iguais, qualquer que seja u(t).

E note-se que o fato de termos suposto nulas as condições iniciais não altera esta conclusão. Com efeito, se fosse x(0) = [ x₁(0)  x₂(0) ]^T a condição inicial, a conclusão seria a mesma: o sistema é incontrolável. Já deu para "sentir" o que é um estado incontrolável. Mas as noções dadas até agora estão muito imprecisas. As definições precisas são dadas a seguir.

Seja o sistema invariante no tempo na sua forma geral:
 

(4)

onde.
 

Definição 2:

Seja  um estado particular de (4), ou seja, .
Dizemos que  é controlável se para todo T > 0 existir um controle u(t), , tal que quando aplicado ao sistema (4) com x (0) =  resulte em x(T) = 0.

Observações:

1) O controle u(t) que resolve o problema de levar o estado de x(0) =   para x(T) = 0 não é único como veremos mais adiante.

2) Dizemos que  é alcançável se para todo T > 0 existir um controle u(t), , tal que leve o vetor de estado de x(0) = 0 a  x (T) =  .

Para sistemas lineares invariantes no tempo e de tempo contínuo, as duas definições (controlabilidade e alcançabilidade) são equivalentes, como é de se esperar intuitivamente, i.e., o vetor de estado  é controlável se só se for alcançável. Como veremos adiante no curso, isto não é verdade no caso de sistemas de tempo discreto, um fato paradoxal. E também não é verdade se o sistema for variante no tempo, o que é intuitivo.
 

Definição 3:

O sistema (4) é dito (completamente) controlável se todo estado (vetor de estado) for controlável. O sistema é dito (completamente) alcançável se todo vetor de estado for alcançável.
 

Observações:

1) Dada a equivalência, como vimos, entre controlabilidade e alcançabilidade, é claro que o sistema é (completamente) controlável se só se existir um controle (u) que leve o estado do sistema de x(0), escolhido arbitrariamente, para x(T), escolhido também arbitrariamente, sendo T também escolhido arbitrariamente.

2) Doravante omitiremos com freqüência, a não ser nos casos em que queiramos enfatizar, o advérbio "completamente" e chamaremos de controlável o sistema que for completamente controlável.

Definamos agora o gramiano de controlabilidade:
 

(6)

Observe-se que W_c (0,T) é uma matriz nxn, simétrica.

Então W_c (0,T) pode ser visto como um operador, i.e.,

Seja R[ W_c ( 0,T)] o espaço imagem ("range") de W_c(0,T), i.e.,

R[W_c (0,T) ] = { y  ; y = Wc . x  para algum x }

Então temos:

Teorema 4:

Um estado  de (4) é controlável se só se pertencer a R[W_c(0,T)]. Consequentemente, o sistema é (completamente) controlável se só se W_c (0,T) for não singular.

Ver Prova

Observação:

Seja u(t) um controle que leva o estado do sistema de  à origem em T (tempo).

Então,
 

(14)

Seja v(t) um controle que leva o estado do sistema da origem a .

Então,
 

(15)

Substituindo esta em (14), vem

Daí se vê que v(t) ¹ -u(t). Com efeito, com -v(t) ¹ u(t) teríamos

(em vista de (15))

,Þ  não pode ser qualquer.

Agora vamos provar que se o sistema for (completamente) controlável, então  transfere o estado do sistema da origem para .

Com efeito, sendo o sistema controlável, . Ora,

 

R[W_c] é conhecido como sub - espaço de estados controláveis do sistema: qualquer vetor pertencente a este sub - espaço dos estados é controlável.

E é claro que o sub - espaço dos estados incontroláveis é ortogonal a ele, isto é  .

Mas sabemos da Álgebra Linear que

Mas, sendo W_c simétrica, conclui-se que o sub - espaço dos estados incontroláveis é N[W_c].

Podemos então decompor Âⁿ :

Então, qualquer x  pode ser expresso de modo único:

x = x_c + x_uc

onde x_c é a componente controlável do vetor e x_uc é a componente incontrolável.

A seguir temos um corolário interessante:
 
 

Corolário 5:

Suponha que W_c (0,T) é não singular.
Então o controle
 

(19)

transfere o sistema (4) do estado inicial  para o estado final x(T) = 0.

Além disso, este controle é o mais econômico em termos de "energia", i.e., para qualquer outro controle u(t) que transfira o estado do sistema  a 0, temos:
 

(20)

Ver Prova

A condição de controlabilidade do teorema (4), em função do gramiano é de verificação complicada, porque é preciso calcular uma integral, cujo integrando é função de e^At (!)

O teorema seguinte simplifica enormemente as coisas.
 
 

Teorema 6:

Defina-se a seguinte matriz de controlabilidade, a qual é n x mn
 

(28)

Então o sub - espaço dos estados controláveis é
 

(29)

enquanto que o sub - espaço incontrolável é
 

(30)

Consequentemente, o sistema é (completamente) controlável se só se a matriz de controlabilidade tiver posto cheio, i.e., Posto [P_c ] = n.

Observação:

Note-se que P_c não depende de T. Portanto, este teorema prova também que o espaço imagem e o núcleo de W_c(0,T) não dependem de T, conforme havia sido anunciado antes.

Ver Prova

A seguir, temos
 

Lema 7:

Suponha que o estado inicial x(0) =  do sistema (4) é controlável. Então o estado x(t) é controlável " t > 0, qualquer que seja o controle u(t) aplicado ao sistema.

Ver Prova

Vamos ilustrar a teoria dada até agora com alguns exemplos

• Exemplo 8
• Exemplo 9
• Exemplo 10

Lema:

Seja , posto [B] = m.

Então 

Ver Prova
 

Observe que a noção de controlabilidade do estado só envolve as matrizes A e B.

Considere-se agora o sistema com a sua resposta i.e.,

onde , A e B têm as dimensões usuais.

O sistema acima tem a resposta controlável se existir um controle u(t), t < T (T arbitrário) que se transfira a resposta de y(0) = y_o (dado e arbitrário) para y(T) = y_i (dado e arbitrário).

Pode-se demonstrar, por desenvolvimento análogo ao anterior, que o sistema acima tem a resposta (completamente) controlável se só se a matriz

tiver posto p .