Defina-se a seguinte matriz de controlabilidade, a qual é n x mn
 

(28)

Então o sub - espaço dos estados controláveis é
 

(29)

enquanto que o sub - espaço incontrolável é
 

(30)

Consequentemente, o sistema é (completamente) controlável se só se a matriz de controlabilidade tiver posto cheio, i.e., Posto [P_c ] = n.
 

Observação:

Note-se que P_c não depende de T. Portanto, este teorema prova também que o espaço imagem e o núcleo de W_c(0,T) não dependem de T, conforme havia sido anunciado antes.
 

Prova:

Nota-se primeiramente que da Álgebra Linear (ver (8a)) temos

 

porque Wc é simétrico.

Consequentemente (29) e (30) são equivalentes, bastando então provar uma delas. Provaremos (30)

Primeiramente vamos provar que 
 

Seja

. Então, Wc z = 0

Mas sendo o integrando não - negativo, vem

E isto implica (basta considerar que a norma ao quadrado é igual à soma dos quadrados das componentes de vetor):
 

Como esta igualdade vale para todo t em um intervalo contínuo, vem (ver prova no Apêndice)

o que implica
 

(37)

o que prova que 

Vamos agora provar que 

Seja . Mas isto implica (37), ou seja,
 

(38)

Ora, sabemos que

Mas pelo teorema de Cayley - Hamilton, Aⁿ (e portanto Aⁿ⁺¹, ...) pode ser expresso como função de I, A, A² , ..., A^{n - 1} .

Então, podemos escrever
 

(39)

Então,

E em vista de (38),