tal que 
= Wc.z.
(Estamos abreviando, i.e., fazendo Wc := Wc(0,T).
Como veremos no teorema (6), o espaço - imagem de Wc(0,T)
é o mesmo 
.)
de (4) é controlável se só se pertencer a R[Wc(0,T)].
Consequentemente, o sistema é (completamente) controlável
se só se Wc (0,T) for não singular.
Prova:
(Se):
Seja
tal que = Wc.z.
(Estamos abreviando, i.e., fazendo Wc := Wc(0,T).
Como veremos no teorema (6), o espaço - imagem de Wc(0,T)
é o mesmo .)
Seja
 |
(8)
|
Então,
é controlável.
(Somente se):
Suponha que exista um controle u que leve 
0 à origem. Provaremos que 
R[Wc]. Provaremos isto por contradição. Suponha
que 
. Recorda-se
neste ponto que o núcleo de um operador X é igual ao espaço
ortogonal ao espaço - imagem de XT, i.e.,
 |
(8a)
|
Então, por hipótese,
, porque Wc é simétrica.
Então,
| wT.
0 , ou seja, T.w
0 . |
(10)
|
Como u leva o estado de
à origem (0), vem
 |
(11)
|
Multiplicando à esquerda por wT
e-AT, vem
 |
(12)
|
Disto e de (10), vem
 |
(13)
|
Mas, por outro lado, sendo w 
N[Wc] vem
Contradizendo (13).
A 2a afirmação do teorema é agora óbvia porque para completa controlabilidade, devemos ter
