Suponha que o estado inicial x(0) =  do sistema (4) é controlável. Então o estado x(t) é controlável " t > 0, qualquer que seja o controle u(t) aplicado ao sistema.

Prova:

Em primeiro lugar, lembra-se que

Ora, se  é controlável, então

Ou seja,  pode ser expresso como uma combinação linear das colunas de P_c , i.e.,
 

(47)

onde 

Disto e de (39) vem

E definindo k = i + j, vem

o que prova que e^A.t. pode ser expresso como uma combinação linear das colunas de A^kB, com k = 0,1, ..., 2n-2, ou seja,

Mas de acordo com o teorema de Cayley - Hamilton, Aⁿ , Aⁿ⁺¹ , ... são funções de A, A² , ... A^{n -1}. Então,
 

(51)

Ou seja, a resposta livre do sistema (sem comando) permanece sempre controlável.

Vejamos a resposta forçada. Novamente usando (39), vem

= combinação linear das colunas de B, AB, ... , A^n-1 B.

Portanto,
 

(54)

Em vista disto e de (51), o lema fica demonstrado.