[en] DESTRUCTION OF INVARIANT GRAPHS BY Cˆ{1,\BETA} PERTURBATIONS

[pt] DESTRUIÇÃO DE GRÁFICOS INVARIANTES POR PERTURBAÇÕES Cˆ{1,\BETA}

[pt] RODRIGO PEREIRA PACHECO

[pt] PONTOS CONJUGADOS

[pt] EQUACAO DE EULER LAGRANGE

[pt] GRAFICOS LAGRAGEANOS

[pt] EQUACAO DE JACOBI

[pt] GEOMETRIA FINSLER CONFORME

[en] CONJUGATE POINTS

[en] EULER LAGRANGE EQUATION

[en] LAGRANGIAN GRAPHS

[en] JACOBI EQUATION

[en] CONFORMAL FINSLER GEOMETRY

[pt] Segundo a teoria desenvolvida por Kolmogorov, Arnold e Moser na década de sessenta, a grande maioria dos toros invariantes persistem após uma perturbação C3 de um Hamiltoniano integrável. Uma pergunta natural é se perturbações em topologias Ck, para k < 3, ainda preservam tais toros. Bangert mostrou que a situação é a oposta na topologia C1 : arbitrariamente próximo de uma métrica Riemanniana plana no toro existem métricas sem nenhum toro invariante. Ruggiero estendeu esses resultados para Lagrangeanos mecânicos no toro e mostrou que, no caso de métricas Riemannianas, esse fenômeno é C1 genérico. Neste trabalho, mostramos que, dado ǫ > 0, E 2 R e um Hamiltoniano de Tonelli reversível H : TT2 -> R, existe β E (0, 1) e uma ǫ perturbação H0 de H tal que H0 não possui gráficos contínuos invariantes. Para tal, construimos explicitamente uma métrica Finsler, sem nenhum campo contínuo de minimizantes, através de um estudo analítico do operador de Jacobi.

[en] According to the theory developed by Kolmogorov, Arnold and Moser in the sixties, the majority of invariant tori persists under a C3 perturbation of a integrable Hamiltonian. A natural question is if a perturbation in the Ck topology, k < 3, still preserves such tori. Bangert showed that, in the C1 topology, what happens is the opposite: there are metrics with no invariant torus arbitrarily close to any given Riemannian metric. Ruggiero extended these results to mechanical Lagrangians in the torus and showed that for Riemannian metrics this phenomenon is C1 generic. In this work, we show that, given e > 0, e 2 R and a reversible Tonelli Hamiltonian H : TT2 -> R, there exists β E (0, 1) and an ǫ perturbation H0 of H in the C1,β topology such that H0 has no continuous invariant graphs. The result is achieved by explicitly exhibiting a Finsler metric, without any continuous field of minimizers, constructed after an analytic study of the Jacobi operator.

RAFAEL OSWALDO RUGGIERO RODRIGUEZ

RAFAEL OSWALDO RUGGIERO RODRIGUEZ

MARIO JORGE DIAS CARNEIRO

DAVID FRANCISCO MARTINEZ TORRES

UMBERTO LEONE HRYNIEWICZ

CLODOALDO GROTTA RAGAZZO

JOSE ANTONIO GONCALVES MIRANDA

2021-12-23

2014-03-28

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INGLÊS

https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/colecao.php?strSecao=resultado&nrSeq=56747@1

https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/colecao.php?strSecao=resultado&nrSeq=56747@2

https://doi.org/10.17771/PUCRio.acad.56747