O conceito de observabilidade é, como veremos, "dual" do de controlabilidade.
Comecemos ilustrando por um
Exemplo 1
Seja o circuito elétrico
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cujas equações são
Calculando, obtém-se
Seja u(t) = 0 e seja
Obtemos
Desta última expressão vemos
que a resposta do sistema depende da diferença 
.
Consequentemente (com u(t) = 0), y(t) = 0 
se 
.
Portanto se o estado inicial 
for tal que ,
dizemos que ele é inobservável (na resposta). Este conceito
é importante, não só matematicamente, como veremos,
mas também fisicamente. Assim, se no exemplo acima tivéssemos
uma função ilimitada em vez de e - 3 t , com ,
a resposta do sistema estaria zerada e, no entanto, o estado do sistema
cresceria ilimitadamente, "queimando" (ou "explodindo") o sistema. O sistema
acima é dito (parcialmente) inobservável e o sub - espaço
{x : x 1 = x 2 } é chamado sub - espaço
dos estados inobserváveis, representado abaixo por uma reta bissetriz
do 1o quadrante e do 3o quadrante.
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Consideremos agora um sistema qualquer
na forma geral.
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(4)
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onde A, B e C têm as dimensões
usuais.
Definição 2:
Um estado particular
do sistema (4) é dito inobservável se com u(t) = 0 e com
qualquer T > 0 o estado inicial x(0) :=
produzir a resposta 
.
Definição 3:
O sistema (4) é dito (completamente)
observável se o seu único estado inobservável for
x(0) = 0. Se algum x(0) 
0
inobservável, então o sistema é dito inobservável.
Para saber se um sistema é inobservável, temos primeiramente
o seguinte
Teorema 4:
Seja
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(6)
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uma matriz simétrica (n x n) chamada
gramiano de observabilidade. Um estado
do sistema (4) é inobservável se só se ele pertencer
ao núcleo de Wo (0,T), denotado por N[Wo (0,T)].
Consequentemente, o sistema é (completamente) observável
se só se Wo (0,T) for não-singular.
Sendo Wo uma matriz simétrica, temos Wo T = Wo .
Por outro lado, é claro que o sub
- espaço dos estados observáveis é o complemento ortogonal
de N [Wo ], ou seja, é 
.
E sabemos que
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(11)
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sendo que
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(12)
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Ou seja, x 
pode ser decomposto de forma única nas parcelas
x = xo + xuo, sendo  |
(13)
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onde xo é a componente observável de x, sendo x u o a componente inobservável.
O Corolário seguinte mostra como
calcular o estado inicial do sistema a partir do conhecimento de y(t),
caso ele seja observável e u = 0
Corolário 5:
Seja o sistema (4) com u = 0. Suponha que
Wo (0,T) é não-singular (e portanto o sistema
é observável). Então,
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É frequente encontar nos livros
de Controles e Sistemas a seguinte definição: Seja 
. Então,
x(0) é observável se existir
T > 0 tal que o conhecimento de y(t) em 
permita determinar x(0).
Ora, seja
x(0) = x o + x uo (ver (13))
e suponha que xo
0, xuo
0.
Seja y(t) a resposta do sistema. É claro que o conhecimento de y(t) só me permite estabelecer xo. Portanto, da definição acima x(0) não é observável.
Por outro lado, como y
0, concluímos da definição (2) que x(0) também
não é inobservável. Ou seja, se quisermos manter as
duas definições, concluimos que uma não é a
negação da outra.
Tal como na controlabilidade, o teorema
a seguir dá um modo muito mais expedito para a verificação
da observabilidade do que a aplicação do teorema (4)
Teorema 6:
Definamos a matriz de observabilidade (np
x n) Po, a saber,
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(16)
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Então o sub - espaço dos
estados inobserváveis é
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(17)
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e o sub - espaço dos estados observáveis
é
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(18)
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Consequentemente, o sistema é completamente
observável se só se a matriz de observabilidade tiver posto
cheio, i.e.,
| Posto [Po]=n | (19) |
Observação:
Este teorema prova também que os sub-espaços dos estados inobserváveis e observáveis não dependem de T, uma vez que Po independente de T.
Observação:
Tal como no caso da controlabilidade, o
teste da observabilidade dado pelo teorema (6) pode ser simplificado ulteriormente
se p > 1, e se posto [C] = p, a saber:
Corolário:
Suponha que posto [C] = p.
O sistema é (completamente) observável se só se o
Posto de 
for n.
A seguir, tal como no caso da controlabilidade,
pergunta-se se um estado inobservável em [0,T] continua inobservável
para t > T.
Lema 7:
Seja o sistema (4) com u = 0. Se o estado
inicial x(0) for inobservável, então o estado x(t) = e
A t . x(0) permanece inobservável .
Vejamos alguns exemplos para ilustrar a teoria