Definamos a matriz de observabilidade (np x n) P_o, a saber,
 

(16)

Então o sub - espaço dos estados inobserváveis é
 

(17)

e o sub - espaço dos estados observáveis é
 

(18)

Consequentemente, o sistema é completamente observável se só se a matriz de observabilidade tiver posto cheio, i.e.,
 

Posto [Po]=n

(19)

 

Observação:

Este teorema prova também que os sub-espaços dos estados inobserváveis e observáveis não dependem de T, uma vez que P_o independente de T.

Prova:

A prova é em tudo análoga à do teorema (6) da seção anterior. Com efeito, vamos provar primeiramente que

Seja 

Vamos agora provar que 

Seja 
 

(19a)

Mas vimos que

Mas em vista de (19a), vem

Vejamos agora uma demonstração mais deireta do teorema (6).

x(0) é inobservável se só se, por definição, y(t) = 0, .

Ora, y(t) = 0 se e só se .

Ora,

.

Então, temos

Mas como a partir de C.A ⁿ as linhas da matriz da esquerda são l. d. das anteriores, (em virtude do teorema de Cayley-Hamilton), temos

Consequentemente x(0) é inobservável se só se x(0)  N[P_o].