,
desde
que P ( A1 ) > 0
Como será que a probabilidade de um evento muda após sabermos que um outro evento ocorreu ? Este tipo de pergunta nos leva à idéia de probabilidade condiciona, uma das mais importantes deste curso. Esta noção está intimamente relacionada ao fato da ocorrência de um evento afetar, em certos casos, a probabilidade de ocorrência de outro evento.
Uma probabilidade condicional nada mais é do que uma probabilidade calculada não mais a partir do espaço amostral inteiro S, e sim a partir de um subconjunto de S.
Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional do evento A2 dado o evento A1 é definida como:
,
desde
que P ( A1 ) > 0
Ao re-ordenarmos a expressão acima encontramos:
P ( A1 Ç A2 ) = P ( A1½A2 ) P ( A1 )> 0
Importante: a probabilidade condicional P ( A2 ½ A1 ) não é definida se P ( A1 ) = 0.
Probabilidades condicionais
são "realmente" probabilidades, isto é, satisfazem todas
as propriedades de uma função que possa ser chamada de "probabilidade"
. Então :
| 1) 0 £Pr
( A ½B
) £1
2) Pr ( S½B ) = 1 onde S é o espaço amostral 3) Se A1, A2 , A3 , ..... é uma seqüência enumerável de eventos disjuntos então : Pr( A1ÈA2
È
A3 È
.....)
= Pr( A1) + Pr
( A2) + Pr(A3) + .....
|
Eventos Independentes
Dois eventos A e B são independentes se, e somente se :
Pr ( AÇ B ) = Pr ( A ) . Pr ( B )
Independência
é uma propriedade muito forte e tem um impacto direto sobre as probabilidades
condicionais, como veremos a seguir.
Probabilidade Condicional de Eventos Independentes
Se A e B são eventos independentes, então Pr ( AÇ B) = Pr ( A ).Pr ( B ).
Assim, da definição de probabilidade condicional,
Ou seja, quando os eventos A e B são independentes, a probabilidade condicional de A quando sabemos que B ocorreu é a mesma que a probabilidadeincondicional de A. Em outras palavras, se A e B são independentes, saber que B ocorreu não altera a probabilidade de A.
A independência de dois eventos A e B tem conseqüências também para os complementos destes eventos, como mostrado no teorema a seguir .
Teorema
Se A e B são eventos independentes então :
1. 
e B são
independentes,
2.A
e 
são independentes,
3.
e são
independentes.
onde
e são,
respectivamente, os complementos de A e B. Muitas vezes é interessante
reescrever a expressão da probabilidade condicional para calcular
a probabilidade de ocorrência de ambos A e B.
Pela definição:
e por simetria: 
Logo:
Pr ( AÇ B ) = Pr ( A ) Pr ( B½ A) = Pr ( B ) Pr ( A½ B)
Em particular podemos usar esta última expressão na definição das probabilidades condicionais, de forma a relacionar a probabilidade condicional Pr (B½ A) com Pr (A½B).Esta regra é útil em casos onde é difícil calcular uma das probabilidades condicionais mas é fácil calcular a probabilidade condicional "inversa".
Estas duas fórmulas são, na verdade, a forma mais simples de expressar o Teorema de Bayes.
Partição do Espaço Amostral
Os eventos B1, B2 , ...., Bk formam uma partição do espaço amostral S se:
1. BiÇBj
=Æpara
todo i¹j
2
. È Bi
= S
3. Pr( Bi ) >
0 para todo i
Ou seja, quando a experiência aleatória é realizada, apenas um dos Bi ocorre.
Em geral podemos escrever qualquer evento no espaço amostral em termos das suas interseções com os conjuntos que formam uma partição do espaço amostral.
Por exemplo, se A é um evento qualquer em S e B1, B2 , ...., Bk formam uma partição de S então :
A = (A ÇB1) È(AÇB2)È(AÇB3)È ..... (AÇBk)
onde os (AÇBi) são disjuntos, o que resulta em :
Pr(A) = Pr (AÇB1)
+ Pr (AÇB2)
+ Pr (AÇB3)
+ .....+ Pr (A ÇBk)
Teorema da Probabilidade Total
Sejam B1, B2 , ...., Bk uma partição de S e A um evento qualquer em S . Então :
Pr(A) = Pr(B1).Pr(A½B1) + Pr(B2).Pr(A½B2) + ..... + Pr(Bk).Pr(A½Bk)
A demonstração
deste resultado decorre diretamente do que já foi exposto, lembrando
apenas que
Pr (AÇBi
) = Pr( Bi ). Pr(A½Bi)
para i =1, 2, ...., k .
Um caso particular importante ocorre quando consideramos apenas 2 eventos, A e B, como uma partição do espaço amostral. Neste caso :
Pr(A) = Pr(B).Pr(A½B)
+ Pr(B).Pr(A½B)
Teorema da Multiplicação
Já foi enunciado antes. É apenas a definição de probabilidade condicional expressa de outra maneira.
Pr( AÇB ) = Pr(A ½B) . Pr(B) = Pr( B½A).Pr(A)
O próximo
resultado é um dos mais importantes da teoria das probabilidades,
e generaliza o teorema da multiplicação, permitindo que se
"invertam" probabilidades dada uma partição do espaço
amostral.
Teorema de Bayes
Sejam B1, B2 , ...., Bk uma partição de S e A um evento qualquer em S. Então :
Demonstração
Onde a segunda desigualdade foi obtida aplicando-se o teorema da probabilidade total à probabilidade do evento A.
O teorema de Bayes nos permite "inverter" probabilidades, no sentido de calcular Pr ( Bi½A ) como uma função das probabilidades condicionais inversas Pr ( A | Bi ) para todo i.
A esta altura deve
estar claro que as noções de independência e probabilidade
condicional estão intimamente ligadas. O efeito da independência
de A e B é tornar as probabilidades incondicionais iguais às
respectivas probabilidades condicionais. A definição de independência
deve ser estendida a mais de 2 eventos, e para que n eventos sejam independentes
não
basta que eles sejam independentes dois a dois.
Independência para mais de 2 eventos
Sejam A1, A2, ..., An eventos, onde n ³3. Estes n eventos são independentes se, e somente se :
1. Pr ( A1ÇA2
Ç
... ÇAn
) = Pr ( A1 ) . Pr ( A2 ) ... Pr ( An ) e
2. Toda subcoleção
de eventos contendo mais de 2 e menos de n eventos é independente.
Teorema
Sejam A1,A2 , ..., An eventos quaisquer tais que :
Pr ( A1ÇA2Ç ....ÇAn ) = Pr ( A1 ). Pr ( A2½ A1 ). Pr ( A3½A1ÇA2 )...Pr ( An ½A1ÇA2 Ç ...ÇAn-1 )
Demonstração
O produto das probabilidades do lado direito da equação acima é :
Todos os termos deste produto se cancelam, exceto Pr ( A1ÇA2Ç .... ÇAn ), que é o lado esquerdo da equação.
Em particular, o teorema nos diz que :
1. Pr ( A1ÇA2
) = Pr ( A1 ). Pr ( A2 |
A1)
e
2. Pr ( A1ÇA2
ÇA3
) = Pr ( A1 ). Pr ( A2 |A1
). Pr ( A3 |(A1
ÇA2
))