1 . Duas caixas contêm bolas vermelhas e azuis. Suponha que uma caixa contém 60 bolas vermelhas e 40 azuis. A outra caixa contém 10 bolas vermelhas e 20 azuis. Suponha que selecionamos aleatóriamente uma das caixas e uma bola é selecionada aleatóriamente desta caixa. Qual a probabilidade da bola ser vermelha?

Solução

A1 = {seleciona-se a primeira caixa}

A2 = {seleciona-se a segunda caixa}

B = {seleciona-se uma bola vermelha}

Pr ( B ) = Pr ( A1 ) Pr ( B½ A1 ) + Pr ( A2 ) Pr (B½ A2 )

Como as caixas são escolhidas aleatóriamente:

Pr ( A1 ) = Pr ( A2 ) = 1/2

Além disso, a probabilidade de escolher uma bola vermelha da primeira caixa é:

Pr ( B½ A1 ) = 60/100 = 3/5

e da segunda caixa é:

Pr ( B½ A2 ) = 10/30 = 1/3

Então:

2. (Identificando a fonte de um ítem com defeito)

Três máquinas M1, M2, M3 são usadas para fabricar o mesmo tipo de produto. Suponha que:

20% dos ítens foram produzidos por M1, 30% dos ítens foram produzidos por M2 e 50% dos ítens foram produzidos por M3.
Suponha também que:

1% dos ítens fabricados por M1 têm defeito,

2% dos ítens fabricados por M2 têm defeito e

3% dos ítens fabricados por M3 têm defeito

Um produto é selecionado aleatóriamente e é defeituoso. Qual a probabilidade de que este produto foi fabricado por M2?

Solução

Considere os eventos:

Ai = {o ítem foi fabricado pela máquina Mi }, i = 1,2,3

B = {o ítem é defeituoso}

Queremos achar Pr ( A2½ B )

Por hipótese:

Pr ( A1 ) = 0,2, Pr ( A2 ) = 0,3, Pr ( A3 ) = 0,5

Também:

Pr ( B½ A1 ) = 1% = 0,01

Pr ( B½ A2 ) = 0,02

Pr ( B½ A3 ) = 0,03

Do teorema de Bayes:

No exemplo acima, Pr ( Ai ) é chamado probabilidade a priori de que o ítem selecionado foi produzido pela máquina Mi, pois é a probabilidade deste evento antes de selecionarmos o ítem e descobrirmos se ele tem defeito ou não.

As probabilidades Pr ( Ai ½ B ) são chamadas probabilidades a posteriori pois representam a probabilidade do produto ter sido fabricado pela máquina Mi depois de sabermos que o produto é defeituoso.