Realimentação de Estado 
Lei de Controle: 

u(t)= sinal de controle
v(t)= entrada de referência
x(t)= estado
 

Controle Ótimo: qual a melhor lei de controle?

Como estamos estudando sistemas lineares (invariantes no tempo), fazemos a lei de controle depender linearmente de v e x :

onde K é a matriz de ganho de realimentação.
 

Realimentação de Estado: O estado é realimentado à entrada.

Consideremos o sistema L.I.T descrito por:

® monovariável.

Define-se o ganho como: , onde ki é o ganho entre a i-ésima variável de estado e a entrada.

O sistema com realimentação de estado mostrado na figura tem como equação dinâmica:

a qual é obtida fazendo-se u = v + k.x
 

As equaçôes dinâmicas do sistema original e do sistema realimentado têm a mesma dimensão e o mesmo espaço de estado.
 

Teorema
A equação dinâmica (2) é controlável para qualquer vetor k (1 x n) se e somente se (1) for controlável.
 

Colorário:
A controlabilidade de uma equação dinâmica é invariante sob qualquer realimentação de estado do tipo
u(t)= v(t)+K(t).x(t).

Obs: Isto é válido também para sistemas multivariáveis e variantes no tempo.
 

Observação:
A observabilidade pode ser "destruída" dependendo da escolha de k.

 

Exemplo:

Realimentação de Estado: u = v + [-3 -1].x

     ® controlável, não observável
 

Teorema
Se a equação (1) for controlável, então, através da realimentação de estado da forma u = v + k.x, os autovalores de (A+b.k) podem ser arbitrariamente escolhidos.

 
Algoritmo
Dados uma equação dinâmica controlável {A, b}  e um conjunto de autovalores , achar o vetor k tal que a matriz (A+b.k) tenha  como seu conjunto de autovalores.

1)Achar o polinômio característico de A: 
2)Computar 

3)Computar 

4)Computar  para i = 1,2,…,n - 1, com 

5)Formar 

6)Achar P=Q-1

7)
 

Neste algoritmo, a equação {A, b} é, primeiramente colocada na forma canônica controlável. Alternativamente, pode-se computar o polinômio característico de   A + b.k  em termos de   (desconhecidos). Conhecendo-se os autovalores que se quer para A + b.k, forma-se um sistema de equações e se obtém o vetor k.

Em termos da função de transferência, os pólos de G(s) podem ser arbitrariamente escohidos, já que
{pólos}  Ì  {autovalores}. Os zeros de G(s) não são afetados, ou seja, os numeradores da funções de tranferência correspondentes às equações dinâmicas (1) e (2) são iguais.
 
 

Exemplo:

Localizar os autovalores em -1, -2, -2.

 
Solução:
Polinômio procurado: (s+1).(s+2).(s+2) = 

Função de transferência do sistema sem realimentação:

Na forma controlável:


Fazendo 

Como 

tem-se: 
 

Polinômio característico:
    (desejado)

Logo:

Então: 

Este é o vetor de realimentação de estado quando a equação está na forma controlável.
Para obter k (relativo à forma original), devemos aplicar a transformada de equivalência , de modo que .

Neste problema, 

Observe-se que é extremamente trabalhoso (equações não lineares) obter k diretamente da equação dada e fazendo u = v + k.x.

Neste caso, , que se soma a A,

a qual  não está em nenhuma forma canônica simples. 



Decomposição Canônica

Estimadores de Estado

Propriedade da Separação

Projeto de Sistemas com Realimentação: Exemplo