u(t)= sinal de controle
v(t)= entrada de referência
x(t)= estado
Controle Ótimo: qual a melhor lei de controle?
Como estamos estudando sistemas lineares (invariantes
no tempo), fazemos a lei de controle depender linearmente de v e x :
onde K é a matriz de ganho de realimentação.
Realimentação de Estado: O estado é realimentado à entrada.
Consideremos o sistema L.I.T descrito por:
® monovariável.
Define-se o ganho como: , onde ki é o ganho entre a i-ésima variável de estado e a entrada.
O sistema com realimentação de estado mostrado na figura tem como equação dinâmica:
a qual é obtida fazendo-se u = v + k.x
As equaçôes dinâmicas do sistema
original e do sistema realimentado têm a mesma dimensão e
o mesmo espaço de estado.
Teorema
A equação dinâmica (2) é
controlável para qualquer vetor k (1 x n) se e somente se (1) for
controlável.
Colorário:
A controlabilidade de uma equação
dinâmica é invariante sob qualquer realimentação
de estado do tipo
u(t)= v(t)+K(t).x(t).
Obs: Isto é válido também para
sistemas multivariáveis e variantes no tempo.
Observação:
A observabilidade pode ser "destruída" dependendo
da escolha de k.
Exemplo:
Realimentação de Estado: u = v + [-3 -1].x
® controlável,
não observável
Teorema
Se a equação (1) for controlável,
então, através da realimentação de estado da
forma u = v + k.x, os autovalores de (A+b.k) podem ser arbitrariamente
escolhidos.
Algoritmo
Dados uma equação dinâmica
controlável {A, b} e um conjunto de autovalores ,
achar o vetor k tal que a matriz (A+b.k)
tenha
como seu conjunto de autovalores.
1)Achar o polinômio característico de
A:
2)Computar
3)Computar
4)Computar para i = 1,2,…,n - 1, com
5)Formar
6)Achar P=Q-1
7)
Neste algoritmo, a equação {A, b} é, primeiramente colocada na forma canônica controlável. Alternativamente, pode-se computar o polinômio característico de A + b.k em termos de (desconhecidos). Conhecendo-se os autovalores que se quer para A + b.k, forma-se um sistema de equações e se obtém o vetor k.
Em termos da função de transferência,
os pólos de G(s) podem ser arbitrariamente escohidos, já
que
{pólos} Ì
{autovalores}. Os zeros de G(s) não são afetados, ou seja,
os numeradores da funções de tranferência correspondentes
às equações dinâmicas (1) e (2) são iguais.
Exemplo:
Localizar os autovalores em -1, -2, -2.
Solução:
Polinômio procurado: (s+1).(s+2).(s+2) =
Função de transferência do sistema sem realimentação:
Na forma controlável:
Fazendo
Como
tem-se:
Polinômio característico:
(desejado)
Logo:
Então:
Este é o vetor de realimentação
de estado quando a equação está na forma controlável.
Para obter k (relativo à forma original),
devemos aplicar a transformada de equivalência ,
de modo que .
Neste problema,
Observe-se que é extremamente trabalhoso (equações não lineares) obter k diretamente da equação dada e fazendo u = v + k.x.
Neste caso, , que se soma a A,
a qual não está em nenhuma forma canônica simples.
Projeto
de Sistemas com Realimentação: Exemplo