Dado um sistema

= A . x + B . u
y = C . x

sabemos como calcular sua matriz de transferência

H(s) a qual é H(s) = C (sI - A) ^-1B.

Vamos nos ocupar, nesta seção, do problema inverso, isto é, dada uma matriz de transferência H(s), calcular uma realização (A, B, C) da matriz de transferência, isto é, calcular A, B e C tal que

C(sI - A) ^{- 1}B = H(s)

(É claro que este problema tem solução somente se H(s) for estritamente própria)

Vejamos primeiramente o caso da realização de uma função de transferência, ou seja, o problema escalar.

Seja
 

(8)

Vimos no capítulo 2^o duas realizações de funções de transferência escalares.

A chamada "forma canônica" é
 

(10)

O aluno aplicado verificará, calculando, que (10) é de fato uma realização de (8): note-se que basta calcular os elementos da última coluna de adj (sI – A_c ), porque todos os elementos de B , menos o último, são nulos. E note-se que |sI – A_c| = s ⁿ + p _{n - 1} s ^{n - 1} + … + p₁ s + p₀ .

A "forma canônica" é dual de (10), a saber,
 

(11)

As matrizes A_c e A_o , correspondentes a (10) e (11), respectivamente, são chamadas matrizes companheiras.

Uma simulação de (10) em computador análogo é

Na prática, tal simulação se revela muito sensitiva a variações de parâmetros e, por isso, não é usada. Ela tem função didática.

Já a simulação correspondente de (11) é
 

Vejamos agora os sistemas multivariáveis. Suponha que u e y tenham as dimensões usuais, isto é, u ^m,     y ^p

Seja
 

(7)

onde Q_o, Q₁, ..., Q_n-1^pxm e o denominador é um  {p_o, p₁, ..., p_n-1 }

É fácil verificar que a seguinte forma canônica controlável realiza a matriz de transferência acima.
 

(12)

Analogamente, a forma canônica observável para sistemas multivariáveis é
 

(13)

Agora, observe-se que a dimensão de (12), isto é, a ordem da matriz A em (12) é nm, enquanto que a dimensão de (13) é np.

É fácil provar (prove!) que (10) e (12) são efetivamente controláveis enquanto que (11) e (13) são observáveis.

Ora, (10) e (11) são realizações de
 

(8 bis)

Ora, se os 2 polinômios de (8) forem coprimos, é claro que as realizações (10) e (11) são mínimas no sentido que não existe outra realização (A₁ , B₁ , C₁ ) tal que a ordem de A₁ seja menor que n. Se isto ocorrer (i.e se os polinômios de (8) forem coprimos), então a realização (10), além de ser controlável, é também observável e a realização (11), além de ser observável, é também controlável. Mas se os polinômios de (8) não forem coprimos, então a realização (10) não é observável, enquanto que a realização (11) não é controlável. Vamos explicar melhor isto e prover esta última afirmação a seguir.
 
 

Definição:

Uma realização (A,B,C) de uma dada matriz de transferência H(s) é dita mínima se não existir outra realização de H(s) cuja dimensão seja menor.

Ou por outras palavras, dada H(s), a realização
 

(14)

é dita mínima se não existir uma outra realização

tal que 

É claro que as realizações mínimas de uma matriz de transferência tem interesse especial pois são realizadas fisicamente com menor número de componentes. É claro também que  um n^o infinito de realizações mínimas, passando-se de uma para outra por meio de transformação de estado não-singular, i.e, se (14) é uma realização mínima, então,

também é, observando-se que  = Q.x.

A seguir, nós temos o seguinte resultado fundamental que, a esta altura já deve ter sido intuido pelo aluno arguto, mas que agora vai ser demonstrado formalmente.
 
 

Teorema 4:

Uma realização (A,B,C) de uma matriz de transferência H(s) é mínima se só se for controlável e observável.

Ver Prova

É claro que se (A, B, C) for uma realização mínima, então (QAQ ^{- 1} , QB, CQ ^{- 1} ) também será.

O teorema seguinte afirma algo mais:
 
 

Teorema 5:

Sejam duas realizações mínimas (A,B,C) e  da mesma matriz de transferência H(s). Sejam x(t) e , respectivamente, seus vetores de estado. Então Q, não singular, e tal que  = Q.x e, por consequinte,

Ver Prova

A seguir, temos
 
 

Teorema 6:

Seja o sistema SIMO (single input-multiple output)
 

(33)

o qual é suposto controlável.

Existe uma transformação de estado  = Q.x que coloca o sistema na forma canônica controlável, isto é,
 

(34)

onde A_c e B_c tem a forma de (10).

Ver Prova

A seguir, temos o dual do teorema anterior.
 
 

Teorema 6’:

Seja o sistema MISO (multiple-input, single output)
 

(33)

que suporemos observável.

Então  uma transformação de estado  = Q.x que coloca o sistema na forma canônica observável, isto é,
 

(34)

onde A_c e C_c são definidos em (11).

A prova deste teorema é análoga à do teorema anterior. Vimos que para sistemas multivariáveis, obtivemos as realizações (12) e (13) que são formas canônicas controláveis e observáveis respectivamente. Como foi dito, aquelas realizações têm como ordem muito grande se m >> 1, p >> 1, respectivamente, isto é, têm ordem muito maior (nm e np, respectivamente) que a ordem da realização mínima (n era o grau do polinômio do denominador de H(s)). Mas obtida uma realização na forma canônica controlável sempre podemos obter uma realização mínima decompondo o sistema nos sub-sistemas observável e não-observável, de acordo com o teorema (3’) da seção anterior. É claro que o sub-sistema observável, sendo também controlável, é uma realização mínima. Ou então, obtida uma realização na forma canônica observável (13), decompomo-la nos sub-sistemas controlável e incontrolável, aplicando o teorema (3) da seção anterior. O sub-sistema controlável, sendo também observável, é uma realização mínima. Vejamos um exemplo.