Uma realização (A,B,C) de uma matriz de transferência H(s) é mínima se só se for controlável e observável.

Prova:

(Somente se): Suponha que (A, B, C) não seja controlável. Então, decompondo (A , B, C) como em (33) da seção anterior, podemos achar A₂₂ , B ₂ e C ₂ tal que H(s) = C₂ (sI - A₂₂ )^-1 B ₂ e, por conseguinte, (A, B, C) não é mínima. O mesmo se conclui se (A, B, C) não for observável.
 

(Se): Sabemos que a resposta impulsional, i.e, a resposta ao impulso de um sistema, é igual à transformada inversa de Laplace da sua função de transferência.

Então a resposta ao impulso do sistema (A , B, C) é

Suponha que (A , B, C) seja controlável e observável

Seja A ^nxn, etc…

Seja  uma outra realização da mesma matriz de transferência.

Seja r a dimensão desta realização, i.e, A ^yxy

Provaremos que .

Como se trata da mesma matriz da transformada, temos

Pré-multiplicando ambos os membros desta equação por e pós-multiplicando por , vem

Intregando ambos os lados em T e em , vem

W_o e W_c têm posto n, pois ( A, B, C ) é controlável e observável. E sendo quadrados, são não singulares. Ora, as integrais do 1 ^o membro são n x r e r x n, respectivamente.

Então o posto do 1^o membro é 

==> .