(20)

onde d é a distância entre as amostras dos dois sinais e s ² é a variância do ruído na saída do filtro (Figura 6). Como se verá a seguir, supondo que o ruído n(t) é um ruído branco, a resposta ao impulso deste filtro é uma imagem do sinal
 
 

(21)

e recebe o nome de filtro casado.

Para maximizar a razão g , note-se, primeiramente, observando (21) e a definição da distância, que
 
 

(22)

Esta relação pode ainda ser escrita em função das Transformadas de Fourier de s(t) e de h(t) como
 
 

(23)

Supondo que n(t) é um ruído branco Gaussiano de densidade espectral de potência N₀/2, conforme mostrado em Propriedades do Ruído Branco Gaussiano, tem-se
 
 

(24)

Assim, substituindo (24) e (23) em (20) tem-se
 
 

(25)

Para se chegar à expressão de H(f) que maximiza a razão sinal ruído, aplica-se a desigualdade de Schwartz que pode ser enunciada da seguinte forma:
 
 

(26)

onde X₁(f) e X₂(f) são 2 funções complexas quaisquer. A igualdade ocorre se e somente se
onde k é uma constante real. Fazendo em (26)
 
 

(27)

e
 
 

(28)

e substituindo em (25) obtém-se:

 

(29)

onde E_sd é a energia do sinal s_d(t). A igualdade ocorre se e só se
 
 

(30)

que equivale no domínio do tempo a
 
 

Exemplo 2