Estamos interessados na investigação de caminhos de deformações conformes de uma métrica definida em uma superfície compacta, visando o estudo da conectividade do conjunto de métricas sem pontos conjugados. Sabe-se que o conjunto das métricas de Anosov, na topologia 𝐶2, encontra-se no interior do conjunto das métricas sem pontos conjugados. Porém não é conhecido se este conjunto é conexo ou contrátil. Hamilton mostrou, usando o fluxo de Ricci, que dada qualquer métrica em uma superfície compacta de gênero maior que 1, existe uma curva diferenciável de métricas que começa na métrica e termina em uma métrica com curvatura negativa. No entanto, não se sabe se, quando a métrica inicial não possui pontos conjugados, esta propriedade é preservada ao longo da curva. Nosso estudo tem dois objetivos principais. O primeiro é apresentar uma família de superfícies compactas de gênero maior que 1 que, apesar de possuírem um número finito de regiões simplesmente conexas que admitem curvatura positiva, não apresentam pontos focais, e cujas métricas são Anosov. A segunda meta é demonstrar que esta família contém uma subfamília de superfícies cuja a métrica pode ser deformada continuamente em métricas de Anosov sem pontos focais até alcançar uma métrica de curvatura negativa.