Núcleo e Nulidade

Imagem e Posto

Exercícios

Transformação de Similaridade

Núcleo

Seja T : V  W uma transformação linear.
Chama-se núcleo de T ao conjunto dos vetores que são solução da equação T=0, ou seja, os vetores que são transformados em 0.
Representa-se o núcleo como N(T) ou Ker(T).
N(T) = {( x, y, z) / T( x, y, z) = ( 0, 0, 0)}

Nulidade

Seja T : V  W uma transformação linear.
Define-se Nulidade de T como a dimensão do seu Núcleo.
Nulidade(T) = dim( Ker(T)}
 

Exemplo

1) Seja T :dada por:

T(x, y, z) = (x - y +4z, 3x + y + 8z) ,

Um vetor (x, y, z) pertence a N(T) se, e somente se:

(x - y + 4z, 3x + y +8z) = (0, 0)

for um sistema homogêneo de solução x = -3z e y = z.
Logo:

N(T) = {(-3z, z, z)/z},

Ao analisar o resultado percebe-se que o conjunto representa uma reta no que passa pela origem e que tem como imagem a origem no . Por isto a Nulidade(T) = 1. Ao fixar a coordenada z determinam-seas coordenadas x e y do ponto de Ker(T).

Imagem

Seja T : V  W uma transformação linear.
Chama-se imagem de T ao conjunto de vetores w pertencentes a W que são imagens de pelo menos um vetor v pertencente a V. Indica-se esse conjunto por Im(T).
Im(T) = {( a, b, c) / T( x, y, z) = ( a, b, c)}

Posto

Seja T : V  W uma transformação linear.
Define-se o posto de T como a dimensão da sua imagem, ou seja , o número de vetores-coluna linearmente independentes.
Deste modo, o posto é também o número de pivots que se obtém ao se escalonar a matriz transformação.
Posto(T) = dim(Im(T) )

Exemplo

2)Seja T:  ; T(x,, y, z) = (x, y, 0) a projeção ortogonal do  sobre o plano xy. A imagem de T é o próprio plano xy.
Im(T) = (x, y, 0)
Sabendo que a imagem é um plano, é claro que a dimensão desta é 2. De outro modo, as variaveis livres são x e y, então posto(T)=2.

3)Seja A a matriz abaixo que representa uma transformação linear.

i) Determine o posto de A.

A = 

Solução

Para determinar o posto(A) deve-se escalonar a matriz A.

A = 

Fazendo as operações indicadas:

Como são dois os pivots obtidos ao se escalonar a matriz, então posto(A)= 2

Exercícios Propostos

1) Seja uma matriz T que representa uma transformação linear.

T = 

Determine:

i) O núcleo e a nulidade de T.
ii) A imagem e o posto de T.

Solução

2) Seja T : a transformação linear tal que:

T(e₁) = (1, 2)
T(e₂) = (0, 1)
T(e₃) = (-1, 3)

sendo {e₁, e₂, e₃} a base canônica de 

Determine:

i) O núcleo e a nulidade de T.
ii) O posto de T.

Solução

Transformação de Similaridade

Sejam R e S matrizes quadradas, para as quais existe uma matriz inversivel P tal que S = P^-1RP. Então, diz-se que S é semelhante a R.
Assim S é obtida por transformação de similaridade.
Deste modo,
seja T: VV um operador linear. Se A e B são bases de V e  e as matrizes que representam o operador T nas bases A e B, então pode-se escrever:

 

sendo

a matriz-mudança de base B para A.

Comparando com a definição acima tem-se que as matrizes  e são semelhantes.

Deteminação da matriz-Mudança de base

A matriz-mudança de base  pode ser determinada com ajuda da base canônica, isto porque a matriz-mudança de base, de uma base qualquer para a canônica, se obtém dispondo os seus vetores em colunas.
 

Fazendo

e

, podemos escrever

Exemplos

1)Sejam as bases A = {v₁, v₂} e B = {w₁, w₂} do , onde v₁ = (2, -1), v₂ = (-1, 1) e w₁ = (1, 0), w₂ = (2, 1).
Determine a matriz-mudança de base A para B.

Solução

a)Determinação da matriz-mudança de base A e B para a base canônica:

C = { (1, 0), (0, 1)}:

pois:

(2, -1) = 2(1, 0) - 1(0, 1)
(-1, 1) = -1(1, 0) + 1(0, 1)

b)Determinação de :

2)Consideram-se as bases do : {e₁ = (1, 0), e₂ = (0, 1)} e {f₁ = (1, 3), f₂ = (2, 5)}.

i)Encontre a matriz transição P de {e₁} para {f₁}.
ii)Encontre a matriz transição Q de {f₁} para {e₁}.
iii) Verifique que Q = P^-1
iv)Mostre que para o operador T no , definido por T(x, y) = (2y, 3x - y).

Solução:

i)f₁ = (1, 3) = 1e₁+ 3e₂
f₂ = (2, 5) = 2e₁ + 5e₂

ii)É preciso encontrar as coordenadas de um vetor arbitrário (a, b) em ralação à base {f_i}.
Assim:

(a, b) = x(1, 3) + y(2, 5) = (x + 2y, 3x +5y)

Resolvendo para x e y:

x = 2b + 5a
y = 3a - b

Então:

(a, b) = (2b - 5a)f₁ + (3a - b)f₂

Para a base canônica, temos:

e₁ = (1, 0) = 5f₁ + 3f₂
e₂ = (0, 1) = 2f₁ + f₂
 

Ou seja,

iii)Para verificar que Q = P^-1 basta multiplicar P por Q e ver que o resultado é a matriz identidade.

iv)Como a transformação é dada em relação à base canônica:

Que é a forma matricial da transformação dada.
Temos, para a base {f_i}:

T(f₁) = T(1, 3) = (6, 0)
T(f₂) = T(2, 5) = (10, 1)

Para achar a matriz-transformação na base {f_i}, usamos as coordenadas do vetor arbitrário (a, b) nesta base.

(6, 0) = -30f₁ + 18f₂
(10, 1) = -48f₁ + 29f₂

Assim a matriz-transformação é:

 

Para provar que

basta fazer a multiplicação e ver que o resultado é [T]f.