i) N(T) = {(x, y, z)

T(x, y, z) = (0, 0, 0)}

Então para achar o núcleo tem-se o sistema:

(x + 2y - z, y +2z, 3y +z) = (0, 0, 0)

De outro modo:

Cuja solução geral é (5z, -2z, z), z

Logo:
 

N(T) = {(5z, -2z, z)

z}

Como só a coordenada z é livre tem-se:

Nulidade(T) = 1
 

ii) Im(T) = {(a, b, c)

T(x, y, z) =(a, b, c)}

Isto é, (a, b, c) é tal que:

(x + 2y - z, y +2z, x + 3y + z) = (a, b, c)

ou seja:

Este só terá solução se a + b - c = 0

Logo:
 

Im(T) = { (a, b, c)

a + b +c = 0}

Como são duas as variaveis livres então:

Posto(T) = 2