1) Considere um sistema PAM binário simétrico onde o pulso básico no modulador é retangular de duração igual à metade do intervalo de símbolo. Supondo que o canal é ideal e o filtro de recepção é casado,

a)desenhe a forma de onda recebida quando a seqüência de bits é 1011010;

b)desenhe o diagrama do olho e indique o melhor instante de amostragem.
 

2) Repita o problema anterior supondo que a duração do pulso básico no modulador é igual ao intervalo de símbolo.
 

3) Um sinal com modulação PAM binária, com amplitudes a_k = ± 1 e com um pulso básico retangular de amplitude unitária em [0,T] é transmitido através de um canal com resposta ao impulso c(t) = d (t) + 0,3 d (t-T) + 0,1 d (t-2T), onde T é o intervalo de símbolo. Supondo que o filtro de recepção não altera os sinais,

a) calcule os valores possíveis de interferência entre símbolos no instante t=T/2;

b) desenhe o diagrama do olho.
 

4) Considere o sinal x(t) = g(t) cos(2p f_ct + q ) onde g(t) é um sinal real com freqüência máxima f_m << f_c

a) mostre que ½ X(f)½ = ½ X(-f)½ e Ð X(f) = - Ð X(-f) ;

b) mostre que ½ X(f_c-f)½ = ½ X(f_c + f)½ ; ½ f½ < f

c) mostre que Ð X(f_c-f) = - Ð X(f_c+f) apenas se q = 0.
 

5) Esboce a trajetória da envoltória complexa, ao longo do tempo, no plano complexo, quando, em um sistema PSK-4, se transmitem sucessivamente, a cada intervalo T, as fases p /4, 3p /4, 7p /4 e 5p /4 supondo

a) pulso básico triangular de duração T;

b) pulso básico senoidal, isto é, p(t)=sen(p t/T) para t em [0,T]. Suponha agora que a componente em quadratura sofre um atraso igual a T/2 e repita os itens a e b. Verifique que, com este atraso, a envoltória varia menos no caso do pulso triangular e se mantém constante no caso do pulso senoidal.

 
6) Analise o comportamento da envoltória complexa dos sinais QAM-16 e PSK-8 examinando sua trajetória no plano complexo supondo um pulso básico triangular em [0,T]. Determine, em particular, a distância entre os fatores mais próximos, no instante t=T/2, quando à potência de transmissão é 12 W e a taxa de bits é 15kbit/s.

 
7) Mostre que o valor médio quadrático da interferência entre símbolos em uma transmissão PAM multinível simétrica é dado por

 

8) Mostre que as expressões do valor de pico e do valor médio quadrático da interferência entre símbolos nas componentes em fase ou em quadratura de um sinal QAM retangular, onde p(t_o ) é real, são dadas por

E
 

9) Um sistema PAM on-off tem potência de transmissão igual a 3 mW com uma taxa de bits de 2 Kbit/s. Sabendo que o pulso básico e a resposta ao impulso do filtro de recepção são retangulares determine:

a) os possíveis valores amostrados no instante ótimo na ausência de ruído;

b) a variância da amostra do ruído supondo no canal um ruído branco com densidade espectral de potência 10^-7 W/Hz;

c) a probabilidade de erro utilizando os valores determinados nos itens a e b.
 

10) Considere um sistema PSK-4 onde o pulso básico no modulador, g(t), é um pulso retangular de amplitude unitária e de duração igual ao intervalo de símbolo T. Suponha que o receptor da Figura 10 apresente na entrada um filtro passa-faixa h₁(t) dado por

e que tanto C(f) como o filtro passa-baixa h(t) não alteram a forma do sinal desejado. Considerando que a fase dos osciladores locais está sincronizada com a fase da portadora transmitida, igual a 0^o, (a) represente, no instante t_o=T, os possíveis valores das componentes em fase e em quadratura na entrada do detetor; (b) supondo que a razão E_b/N_o na entrada do receptor é 10 dB, calcule a probabilidade de erro e compare com a que seria obtida se

 

11) Para o sistema PSK-4 definido no problema anterior, faça h₁(t)=g(t)cos(w _ct) e tome como referência uma probabilidade de erro de 10^-4. Calcule o aumento necessário na razão E_b/N_o na entrada do receptor para manter esta mesma probabilidade de erro quando há um erro de 0,1 rd na fase da portadora gerada no receptor.

 
12) Um sinal PAM-4 com pulso básico retangular de duração igual ao intervalo de símbolo T, é transmitido com uma potência de 1 W e taxa de 5 kbit/s através de um canal com ruído branco Gaussiano de densidade espectral de potência igual a 0,2x10 W/Hz. Sabendo que o filtro de recepção é casado e que os instantes de amostragem sofrem um atraso de 0,2T em relação aos instantes ideais.

a) determine os possíveis valores da interferência entre símbolos;

b) calcule a probabilidade de erro do sistema;
 

13) a) Um sinal PSK-4 com um pulso g(t) retangular de amplitude unitária é transmitido como uma taxa de bits de 1 kbit/s e uma potência de 1 mW através de um canal ideal sem ruído. Supondo que os filtros de recepção são casados e que os osciladores locais estão sincronizados, esboce as formas de onda nas saídas destes dois filtros, quando as fases transmitidas são p /4, 5p /4, 3p /4 e 7p /4;

b) Determine os possíveis valores da interferência entre símbolos na componente em fase;

c) repita os itens a e b suponde que há um erro de fase de 5^o na fase dos osciladores locais.
 

14) Um sinal PSK-4 chega ao receptor com pulso básico dado por

a) Determine as possíveis formas assumidas pela componente em fase e pela envoltória (módulo da envoltória complexa) no intervalo [0,T];

b)supondo que o filtro passa-baixa h(t) da Figura 10 não altera a forma do sinal determine os valores possíveis da interferência entre símbolos e a distorção absoluta na componente em fase nos instantes t=0 e t=T/4.
 

15) Uma transmissão PAM binária é projetada para operar a uma certa taxa de bits com um pulso básico no detetor da forma Sinc(t/T), de forma a eliminar a interferência entre símbolos. Determine a distorção absoluta sabendo que o sistema opera erradamente a uma taxa igual a ¾ da taxa prevista.
 

16) Considere o modelo de receptor de um sistema QAM-16 mostrado na Figura 10 onde h(t) = Kg(t-t_o) sendo g(t) o pulso básico na entrada do receptor, o qual é suposto retangular. Sabendo que a taxa de bits é igual a 100 kbit/s, que a potência na entrada do receptor é de 50 mW e que os limiares de deteção são fixados em ± 2mV, determine o valor adequado da constante K. Repita o cálculo para um pulso básico de espectro igual a raiz quadrada de um cosseno levantado.
 

17) Um sinal PAM binário simétrico, que em canal ideal teria no detetor um pulso básico retangular, passa por um canal cuja resposta ao impulso é dada por

Determine o valor de r para o qual o olho se fecha.
 

18) Repita o problema anterior considerando agora um sistema PSK-4 e os seguintes valores para a freqüência da portadora f_c :

a) f_c = k/T;

b) f_c =(k+0,5)/T;

c) f_c= (k+0,25)/T;

d) f_c =(k+0,125)/T.
 

19) Um sistema QAM-16 tem para o espectro do pulso básico no transmissor e para a função de transferência do filtro de recepção um espectro retangular de largura de faixa igual a 1/T onde T é o intervalo de símbolo. Calcule aproximadamente o efeito da imperfeição de um canal cuja função de transferência, em vez de ser plana, é uma reta inclinada, ou seja,

Para isto calcule

a) o valor médio quadrático da interferência entre símbolos no instante ótimo

b) trate a interferência entre símbolos como uma variável aleatória Gaussiana independente do ruído, calcule a probabilidade de erro e determine a degradação relativa ao desempenho ótimo.
 

20) Mostre que, se o espectro P(f) de um pulso p(t) satisfaz ao 1^o Critério de Nyquist, isto é, se

então

 

21) Mostre que, se o espectro P(f) satisfaz ao 1^o Critério de Nyquist, o pulso de espectro X(f) = P(f+f_c) + P(f-f_c) também satisfaz.
 

22) Mostre que a convolução de um espectro que satisfaz ao 1^o Critério de Nyquist com um outro espectro qualquer também satisfaz a este critério
 

23) Calcule, em função do fator de roll-off, a energia de um pulso de espectro em cosseno levantado.
 

24) Deseja-se obter um sinal y(t) que se anule em múltiplos ímpares de T/2, com excessão de t=± T/2, onde o sinal deve ser igual a 0,5.

a) Determine um critério semelhante ao 1^o Critério de Nyquist para obtenção deste sinal.

b) Use o resultado do item (a) e o 1^o Critério de Nyquist para obter um sinal que se anule em múltiplos pares e ímpares de T/2, com excessão de t=0, onde o sinal deve valer 1 e t=± T/2, onde deve valer 0,5.

c) mostre que não há solução para o item (b) se a faixa de freqüências do sinal for limitada a uma freqüência máxima igual a f_m=1/2T.
 

25) Um canal para transmissão digital em banda básica tem a função de transferência C(f) representada na Figura 35

a) Supondo que o pulso básico g(t) é um impulso, determine a taxa de bits em um sistema PAM-4 que permite a eliminação da interferência entre símbolos na saída do canal.

b) Com o resultado do item (a), mas agora supondo que g(t) é um pulso retangular de duração igual ao intervalo de símbolo, determine a função de transferência de um filtro equalizador H(f) que, colocado após o canal, permite a eliminação da interferência entre símbolos.

26) Entre os sistemas PSK-2, PSK-4, PSK-8 e QAM-16, qual pode transmitir dados sem interferência entre símbolos a uma taxa de 9600 bit/s em uma faixa de 4kHz? Justifique.
 

27) Dispõe-se da faixa de 5 GHz a 5,09 GHz para a transmissão de 3 portadoras QAM. Determine as freqüências das portadoras e a taxa de bit nas seguintes condições:

a) modulação QAM-16 com pulso básico de espectro em cosseno levantado com fator de roll-off igual a 0,3.

b) modulação QAM-64 e o mesmo tipo de pulso porém com fator de roll-off igual a 0,4.
 

28) Dispõe-se da faixa de 5 GHz a 5,09 GHz para a transmissão de 2 portadoras QAM-64 com pulsos básicos de espectro em cosseno levantado.

a) Determine a taxa de bits máxima com a qual se pode operar sem interferência entre símbolos e sem interferência entre portadoras sabendo que o fator de roll-off dos pulsos é igual a 0,5.

b) repita o item anterior supondo que é possível implementar filtros com qualquer valor do fator de roll-off.
 

29) Considere o sinal

onde {a_k} é uma seqüência de amplitudes estatisticamente independentes de médias nulas e variâncias iguais a s _a² e n(t) é um ruído estacionário em sentido amplo, estatisticamente independente das amplitudes {a_k}, de média nula e variância s _n². Mostre que

onde

30) Considere o esquema de ajuste de equalizador mostrado na Figura 36 onde H_e(f) é um filtro transversal de coeficientes {W_i}. (a) Sabendo que

é um sinal digital com as características descritas no Problema 29, e d_k =a_k, mostre que

onde p(t) = g(t)*h_e(t); (b) fazendo y(t) = g(t) e

mostre que

leva à mesma expressão obtida no item (a) para o gradiente Ñ e_i, a menos da constante 2s _a².
 

31) Um sinal PAM binário tem a seguinte expressão na entrada do receptor:

onde a_k = ± 1 e g(t) tem por transformada de Fourier

Mostre que o receptor ótimo em presença de ruído branco Gaussiano, quando são transmitidas apenas duas amplitudes, a₀ e a₁, pode ser implementado com o esquema da Figura 37; determine o valor de r e represente graficamente as regiões de decisão correspondentes.

33) A envoltória complexa de um sinal MSK visto como sinal PSK-4 é dada por

onde

O mesmo sinal visto como FSK é dado por

Determine c₂, c₃ e c₄, d₂ , d₃ e d₄ sabendo que a ₁ = +1, a ₂ = -1, a ₃ = -1, b _o =-1, b ₁ = +1, b ₂ = -1. Represente graficamente, ao longo do tempo, a fase e a freqüência de x(t).
 

34) Mostre que o desalinhamento entre as componentes em fase e em quadratura de um sinal digital com modulação de amplitude e fase onde as amplitudes são equiprováveis, descorrelacionadas e simétricas não altera a expressão da densidade espectral de potência.
 

35) Compare o sinal MSK com um sinal PSK-4 cujo pulso básico é dado por

Considere os seguintes parâmetros de comparação:

a) Variação de envoltória;

b) interferência entre símbolos;

c) espectro de potência
 

36) O modelo de 2 raios e é caracterizado pela resposta ao impulso h(t) = d (t) + r d (t-t ) onde usualmente 0 £ r £ 1 e t é da ordem de alguns nanosegundos.

a)Determine a função de transferência e a resposta de amplitude deste canal.

b)Examine o comportamento da resposta de amplitude com t e r e escreva sua expressão para r =0 e r =1.

c) considere uma faixa de freqüências [f_c -B,f_c +B] e determine o valor de f_c para o qual a diferença
ç H(f_c +B)ç ²-ç H(f_c -B)ç ² em valor absoluto seja máxima.

d) Usando o valor de f_c calculado no item anterior, t =5 ns (valor típico), supondo r =1 e desprezando a distorção no canal quando a variação da resposta de amplitude quadrática ç H(f)ç ² dentro da faixa for menor do que 0,01, determine o valor de B a partir do qual o canal introduz distorção significativa.
 

37) Na Figura 38, C(f) é a função de transferência de um sistema de transmissão digital, n(t) é um ruído branco Gaussiano de média nula e densidade espectral de potência N_o/2, H(f) é um filtro passa-faixa ideal de largura de faixa B onde B é a faixa ocupada pelos sinais transmitidos e L(f) é um filtro adaptativo cuja função é corrigir eventuais distorções introduzidas pelo canal.

a) calcule a probabilidade de que o ruído na saída do filtro H(f) ultrapasse o valor X=N_oB.

b) Supondo que

calcule a probabilidade de que o ruído na saída do filtro L(f) seja maior do que X = N_oB e compare com o resultado anterior.