Um sistema linear é homogêneo ou livre se não houver sinal de entrada em sua equação, ou seja:

x(k+1) = Ax(k).x(k)

Solução: (de forma recursiva)

x(1)= A(0).x(0)
x(2)= A(1).x(1)= A(1).A(0).x(0)
.
.
.
x(k)=A(k-1).A(k-2) . . . A(0).x(0)
 

Definindo a MATRIZ DE TRANSIÇÃO DE ESTADO como:

Se o sistema for inicializado em um tempo diferente de zero ("l" por exemplo) a matrix será (forma geral):

Uma definição alternativa é:

Então:    (transição de x(l) para x(k))
 

Exemplo:

a)Sistema invariante no tempo:

x(k+1)= Ax(k)

x(1)= Ax(0)
x(2)= A.x(1)= A²x(0)
.
.
.
x(k)= A^k.x(0)

ou: 
Generalizando: 

Notação para sistema invariante:

Solução da Equação Dinâmica: Tempo  Discreto

Sistemas Homogêneos: Tempo Contínuo

Solução Geral da Equação Dinâmica: Tempo Contínuo

Exercícios