x(k+1)= A(k).x(k)+ B(k).u(k)

x(k): vetor n x 1
A(k): matriz n x n
B(k): matriz n x m
u(k): vetor m x 1

Solução:

(1)

Da definição de MATRIZ DE TRANSIÇÃO:

Re-escrevendo (1):

ou:
 

Considerações sobre Superposição (Luenberger)

Sistemas invariantes no tempo (resposta impulsional):

x(k+1)= Ax(k)+ B.u(k)

Solução:

Consideremos um sistema com uma entrada apenas descrita por:

A resposta para uma entrada u(0) aplicada em k=0 é:

Se u(0)=1 Þx(k)=A^k-1.b    -RESPOSTA IMPULSIONAL

Para sistemas invariantes, a resposta a uma entrada u(l) é idêntica à resposta a uma entrada aplicada no instante zero,deslocada de "l" unidades de tempo:

x(k)=A ^k-1-l.b.u(l) ;para k ³ l+1