1) Um sistema utilizado para transmissão
de dados em canais telefônicos tem as seguintes características:
modulação PSK-4; taxa de bits: 2400 bit/s; freqüência
de portadora: fc =1800 Hz.
a) Supondo que o pulso básico é
retangular e que a energia média dos sinais transmitidos é
igual a 103 J, faça um gráfico das 4 possíveis
formas de onda, indicando o valor das amplitudes.
b) verifique se as funções
cos(2p fct)
e sen(2p
fct) são ortogonais.
2) Mostre que uma condição suficiente para que as funções g(t)coswct e g(t)senwct sejam ortogonais é que
Mostre também que esta condição é suficiente para se verificar as igualdades
Sugestão: Parta da condição
de ortogonalidade dada pela equação (48) e use propriedades
da Transformada de Fourier, entre
elas a relação de Parseval:
3) Um sistema PSK-8 é utilizado para transmissão digital com uma potência de 0,48 W e uma taxa de bits de 2,5 Kbit/s, usando um pulso básico da forma g(t)=1-cos(2p t/T) em [0,T].
a) Supondo que a freqüência da portadora é muito alta, determine o valor máximo instantâneo do sinal transmitido;
b)represente o espaço de decisão na deteção ótima e calcule a distância entre dois sinais vizinhos;
c) determine analítica e graficamente
a resposta ao impulso do filtro casado na entrada do detetor sabendo que
o instante de amostragem é to = 3T/2; d) determine a
probabilidade de erro mínima com ruído Gaussiano de densidade
espectral de potência igual a 1mW/Hz.
4) Um sinal QAM-16 é transmitido
com uma potência de 0,5 W e sofre uma atenuação de
13dB através do canal. Determine os valores dos limiares de deteção
no receptor ótimo da Figura 6 onde
h(t) = g(t0-t), e g(t) é o pulso básico, suposto
retangular em [0,T] . Suponha uma taxa de bits de 4 Kbit/s.
5) Compare o valor da distância mínima entre os sinais na representação geométrica de um sistema PSK-16 com a distância mínima para o sistema QAM-16 supondo que os dois conjuntos de sinais têm:
a) a mesma energia média;
b) a mesma energia máxima.
6) Considere o conjunto de 8 sinais com modulação de amplitude e fase definido pela expressão
onde (a
,b ) = (D
,0), (D
,D ),(0,D
), (-D ,D
), (D ,0),
(-D ,-D
), (0,D
), (D ,-D
); g(t) é um pulso retangular em [0,T] com energia unitária.
Compare a probabilidade de erro mínima para este sistema com a do
sistema PSK considerando que os dois sistemas tem mesma energia máxima.
OBS.: Utilize limitantes superiores
para as probabilidades de erro.
7) Em um sistema FSK, os sinais são definidos por
Mostre que, se g(t) é um pulso retangular de duração T, estes sinais serão ortogonais se
8) Mostre que
9) Em um sistema FSK binário incoerente,
o sinal é transmitido em um canal rádio com desvanecimento
Rayleigh. Neste caso a amplitude A do sinal varia lentamente de acordo
com uma distribuição de Rayleigh. Determine a probabilidade
de erro média desse sistema.
10) Compare o desempenho dos sistemas de
transmissão digital analisados ao longo deste capítulo em
termos da razão Es/No (em dB) necessária
para obter uma taxa de erro de 10-4. Suponha que os sinais são
transmitidos através de um canal perturbado por ruído aditivo
Gaussiano branco com densidade espectral de potência No/2
e que são detectados com receptores ótimos.
11) Em um sistema PSK-8 é transmitida uma portadora com fases iguais a p /8, p /8,..., 15p /8. O receptor ótimo para este sistema está mostrado na Figura 13. Suponha agora que as fases transmitidas são 0, 2p /8, 4p /8,...,14p /8. Modifique então o receptor de modo que a probabilidade de erro se mantenha inalterada
a) alterando o detetor de limiar;
b) alterando o bloco tg-1;
c) sem alterar os dois blocos dos itens
(a) e (b). Justifique as modificações.
12) Um sistema FSK
binário com pulso básico retangular deve transmitir dados
a uma taxa de 2400 bit/s. Calcule a separação entre as freqüências
das portadoras de modo que o desempenho seja o melhor possível e
compare com a separação correspondente ao FSK ortogonal.
Calcule a probabilidade de erro nos dois casos e compare os resultados.
13) Compare a razão entre a probabilidade
de erro (de símbolo) e a taxa de erro (de bit) em um sistema PSK-4
com receptor ótimo para os seguintes valores da razão Es/No,
onde Es é a energia média dos sinais no receptor
e No/2 é a densidade espectral de potência de ruído
no canal: Es/No = 0,5; Es/No
= 1; Es/No = 4.
14) Considere uma transmissão
digital onde o modulador transmite L bits por símbolo. Para
estimar a taxa de erro de bit é transmitida uma sequência
de Nb = LNs bits e observado o número de bits
errados, tomando-se então a razão Ne/Nbcomo
o valor estimado. Mostre que o valor esperado desta razão é
dado por (77). (Suponha que os erros ocorrem independentemente).
15) Em um sistema de transmissão digital que transmite 4 mensagens m0, m1, m2, e m3 com probabilidades iguais a 0,2, 0,3 , 0,3 e 0,2, respectivamente, o efeito do ruído e das perturbações do canal pode ser representado pelo conjunto de probabilidades condicionais, P(m=mj|m=mi), denominadas probabilidades de transição, e dadas pela matriz
a) Calcule a probabilidade de erro do sistema.
b) Calcule a taxa de erro, considerando a seguinte regra de codificação de símbolos: 00 ® m0, 01 ® m1, 10 ® m2, 11 ® m3.
c) Calcule a probabilidade de erro dado que foi transmitida a mensagem m0.
d) Calcule a probabilidade de se detetar a mensagem mo.