Este trabalho estuda a regularidade e as propriedades estatísticas dos expoentes de Lyapunov de cociclos lineares aleatórios localmente constantes. Investigamos tanto o caso em que o suporte da medida subjacente consiste apenas em matrizes invertíveis, quanto o caso em que também contém matrizes não invertíveis. Esses dois cenários exibem comportamentos notavelmente diferentes. No caso invertível, estudamos a regularidade do expoente de Lyapunov como função da medida subjacente em relação a duas topologias diferentes. Estabelecemos sua continuidade de Hölder no caso genérico em relação à dis tância de Wasserstein e sua analiticidade em relação à norma de variação total. No caso não invertível, sob hipóteses apropriadas, obtemos uma caracterização da hiperbolicidade uniforme por meio de multicones e a usamos para estabelecer uma dicotomia entre a analiticidade e a descontinuidade do expoente de Lyapunov. Também provamos estimativas de grandes desvios e um teorema central do limite para todos esses modelos. Embora existam muitos problemas interessantes ainda em aberto, nossos resultados tentam fornecer uma imagem quase completa no contexto de cociclos aleatórios bidimensionais localmente constantes com medidas com suporte finito.