A dissertação em tela foi desenvolvida com o intuito de proporcionar ao professor de matemática uma introdução ao estudo das Geometrias Não Euclidianas, um assunto carente em nossas salas de aulas tanto do Ensino Básico como das Licenciaturas em Matemática. Em consonância com os Parâmetros Curriculares Nacionais, são historicamente construídos os conhecimentos matemáticos apresentados para discutir o Quinto Postulado dos Elementos de Euclides e para apresentar a descoberta de novas geometrias. Para ser apresentada de forma mais detalhada, foi escolhida uma Geometria Não Euclidiana que pode ser facilmente entendida e contextualizada por alunos do Ensino Médio: a Geometria do Táxi. Tal geometria, além de possibilitar ligações com outros conteúdos do Ensino Básico também é um modelo para a geografia urbana, oferecendo ao alunado a possibilidade de interação com questões motivadoras, interdisciplinares e próximas do seu cotidiano. É apresentada uma sugestão de dinâmica que compara os conceitos das distâncias euclidiana e do táxi além de discutir a definição de circunferência e sua representação tanto na Geometria Euclidiana como na Geometria do Táxi. Além disso, alguns resultados da aplicação da referida dinâmica em turmas do 3o. ano do Ensino Médio do C.E. Professor Ney Cidade Palmeiro, localizado na cidade de Itaguaí no Rio de Janeiro, também são relatados. Pretende-se que este trabalho seja mais uma contribuição para o aprimoramento da formação continuada dos professores das escolas de ensino básico no país.