Título
[pt] CÔNICAS OSCULATRIZES NO PLANO PROJETIVO REAL
Título
[en] ON OSCULATING CONICS IN THE REAL PROJECTIVE PLANE
Autor
[pt] FILIPE BELLIO DA NOBREGA
Vocabulário
[pt] FEIXE REAL DE CONICAS
Vocabulário
[pt] ESPIRAL PROJETIVA
Vocabulário
[pt] QUARTICA BINARIA CONVEXA
Vocabulário
[en] REAL PENCIL OF CONICS
Vocabulário
[en] PROJECTIVE SPIRAL
Vocabulário
[en] CONVEX BINARY QUARTICS
Resumo
[pt] Nós investigamos como as cônicas osculatrizes de uma curva regular do plano
projetivo real evoluem à medida que percorremos a curva. O Teorema de Tait
Kneser afirma que se uma curva não tem inflexão ou vértice, então seus círculos
osculadores são disjuntos e aninhados, ou seja, o círculo menor é contido na
região limitada definida pelo círculo maior. Nós generalizamos esse resultado
ao provar que se uma curva não tem inflexão ou ponto sextático, então as
cônicas osculatrizes são convexamente aninhadas.
Além disso, nós calculamos os dois primeiros termos da série de potências do
invariante-J da quártica binária associada a um par de cônicas osculatrizes de
uma curva arbitrária. Finalmente, nós mostramos que dado um par de cônicas
harmonicamente aninhadas, u,v, existe uma espiral logarítmica de curvatura
projetiva zero que tem u e outra cônica do feixe gerado por u e v como suas
cônicas osculatrizes.
Resumo
[en] We investigate how the osculating conics of a regular curve in the real projective
plane evolve as one traverses the curve. The Tait-Kneser Theorem states that if
the curve has no inflection or vertex, then the osculating circles do not intersect
and are nested, that is, the smaller osculating circle is contained in the bounded
region defined by the larger circle. We generalize this result by proving that
if the curve has no inflection or sextactic point, then its osculating conics are
convexly nested.
In addition, we compute the first and second terms of the power series of
the J-invariant of the binary quartic related to a pair of osculating conics of
an arbitrary curve. Finally, we show that given a pair of harmonically nested
conics u,v, there exists a zero projective curvature logarithmic spiral that has
u and another conic of the pencil generated by u and v as its osculating conics.
Orientador(es)
MARCOS CRAIZER
Coorientador(es)
ÉTIENNE GHYS
Banca
MARCOS CRAIZER
Banca
NICOLAU CORCAO SALDANHA
Banca
RALPH COSTA TEIXEIRA
Banca
ÉTIENNE GHYS
Banca
RONALDO ALVES GARCIA
Banca
FARID TARI
Catalogação
2025-06-23
Apresentação
2025-04-24
Tipo
[pt] TEXTO
Formato
application/pdf
Idioma(s)
INGLÊS
Referência [pt]
https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/colecao.php?strSecao=resultado&nrSeq=71188@1
Referência [en]
https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/colecao.php?strSecao=resultado&nrSeq=71188@2
Referência DOI
https://doi.org/10.17771/PUCRio.acad.71188
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