[pt] CONTINUIDADE HOLDER PARA OS EXPOENTES DE LYAPUNOV DE COCICLOS LINEARES ALEATÓRIOS

[en] HOLDER CONTINUITY FOR LYAPUNOV EXPONENTS OF RANDOM LINEAR COCYCLES

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[en] ERGODIC THEORY

[en] LYAPUNOV EXPONENTS

[pt] Uma medida de probabilidade com suporte compacto em um grupo de matrizes determina uma sequência de matrizes aleatórias i.i.d. Considere o processo multiplicativo correspondente e suas médias geométricas. O teorema de Furstenberg-Kesten, análogo da lei dos grandes números neste cenário, garante que as médias geométricas desse processo multiplicativo convergem quase certamente para uma constante, chamada de expoente de Lyapunov maximal da medida dada. Este conceito pode ser reformulado no contexto mais geral da teoria ergódica usando cociclos lineares aleatórios sobre o shift de Bernoulli. Uma questão natural diz respeito às propriedades de regularidade do expoente de Lyapunov como uma função dos seus dados. Sob uma condição de irredutibilidade e em um cenário específico (que foi posteriormente generalizado por vários autores) Le Page estabeleceu a continuidade de Holder do expoente de Lyapunov. Recentemente, Baraviera e Duarte obtiveram uma prova direta e elegante deste tipo de resultado. Seu argumento usa a fórmula de Furstenberg e as propriedades de regularidade da medida estacionária. Seguindo sua abordagem, neste trabalho obtemos um novo resultado mostrando que, sob a mesma hipótese de irredutibilidade, o expoente de Lyapunov depende Hölder continuamente da medida, relativamente à métrica de Wasserstein, generalizando assim o resultado de Baraviera e Duarte.

[en] A compactly supported probability measure on a group of matrices determines a sequence of i.i.d. random matrices. Consider the corresponding multiplicative process and its geometric averages. Furstenberg-Kesten s theorem, the analogue of the law of large numbers in this setting, ensures that the geometric averages of this multiplicative process converge almost surely to a constant, called the maximal Lyapunov exponent of the given measure. This concept can be reformulated in the more general context of ergodic theory using random linear cocycles over the Bernoulli shift. A natural question concerns the regularity properties of the Lyapunov exponent as a function of the data. Under an irreducibility condition and in a specific setting (which was later generalized by various authors) Le Page established the Holder continuity of the Lyapunov exponent. Recently, Baraviera and Duarte obtained a direct and elegant proof of this type of result. Their argument uses Furstenberg s formula and the regularity properties of the stationary measure. Following their approach, in this work we obtain a new result showing that under the same irreducibility hypothesis, the Lyapunov exponent depends Holder continuously on the measure, relative to the Wasserstein metric, thus generalizing the result of Baraviera and Duarte.

SILVIUS KLEIN

LORENZO JUSTINIANO DIAZ CASADO

SILVIUS KLEIN

ALEXANDER EDUARDO ARBIETO MENDOZA

LUCAS HENRIQUE BACKES

MAURICIO JOSE POLETTI MERLO

2021-05-27

2021-03-25

[pt] TEXTO

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https://doi.org/10.17771/PUCRio.acad.52950