Nesta tese, exploramos diferentes propriedades do grafeno, um material com uma única camada de átomos de carbono. Na primeira seção, propomos um modelo estendido de tight-binding que inclui efeitos de efeitos de spin-órbita e magnetização a fim de investigar os efeitos spintrônicos sobre as correntes de equilíbrio do material. Descobrimos que há uma interação entre o spin-lock devido ao acoplamento spin-órbita de Rashba e a magnetização externa proposta no modelo. Essa interação faz com que as correntes de spin desenvolvidas no material tenham propriedades específicas, o que é destacado na seção sobre nanoribbons. Na seção seguinte, investigamos o papel das simetrias não-simórficas, uma classe de simetrias que só podem ser realizadas com reflexão ou rotação e translação, nas propriedades eletrônicas de materiais bidimensionais. Nós propusemos um método para produzir essas simetrias em qualquer rede por meio da engenharia de vacâncias, ou seja, removendo sítios em determinadas posições. Mostramos que quando essas simetrias estão presentes na estrutura do material, os espectros devem ser ser restringido de tal forma que cada duas bandas devem se tocar em um ponto da Brillouin, em particular, deve haver linhas nodais ao longo dos limites da zona de Brillouin. Explorando a ideia de engenharia de vacâncias, propomos um método para usá-lo para criar bandas planas de energia zero para redes bipartidas. Essa é uma constatação de que o Hamiltoniano das redes bipartidas assume uma forma especial, anti-bloco-diagonal, e a engenharia de vacância consiste em remover linhas e colunas do Hamiltoniano de tight-binding. Analisamos o papel da banda plana de energia zero sobre as correlações eletrônicas, como a formação de uma fase de supercondutividade. As duas últimas seções são dedicadas à métrica quântica e suas aplicações, em particular no estudo da ordem topológica. Damos exemplos e mostramos que para sistemas contínuos, há uma fórmula fechada para a dimensão D. Como uma aplicação, mostramos que a opacidade do grafeno está diretamente relacionada à carga topológica.