Há alguns anos temos visto um grande progresso na resolução de problemas antigos na teoria das superfícies mínimas. Dentre esse problemas estão as conjecturas de Calabi-Yau, que datam dos anos 60 do século passado. A primeira delas afirmava que não existiam superfícies mínimas completas contidas em uma bola de R3, e a segunda que todas as superfícies mínimas completas tinham uma projeção ilimitada em cada eixo. Neste trabalho pretendemos revisar dois exemplos que mostram a falsidade da segunda conjectura. O primeiro foi dado por L. P. Jorge e F. Xavier (1980), e o segundo por H. Rosenberg e E. Toubiana (1987). A primeira conjectura também é falsa. O primeiro contraexemplo foi dado por N. Nadirashvili (1996) e também constitui um contraexemplo da conjectura de Hadamard, que afirmava que não existiam superfícies completas limitadas com curvatura Gaussiana negativa. O desenvolvimento do artigo de Nadirashvili é o principal objetivo desta dissertação. A técnica usada nestes três trabalhos é o uso da Representação de Enneper-Weierstrass, combinada com aplicações adequadas do Teorema de Runge.