A Densidade Binomial Negativa é mais uma densidade obtida a partir de tentativas de Bernoulli independentes e é uma generalização da densidade Geométrica.
Suponha que repetimos um número indefinido de vezes uma experiência que resulta em sucesso ou falha. As repetições terminam quando encontramos o r-ésimo sucesso, onde r é um número especificado a priori.
Seja X uma variável aleatória que representa a tentativa onde o r-ésimo sucesso ocorre. Então a função de probabilidade de X é :
X = A tentativa onde ocorre o r-ésimo sucesso ( obviamente X deve ser maior ou igual a r)
Por que isto é uma densidade de probabilidade ?
1) Note que pr.qx-r é a probabilidade de qualquer seqüência com r sucessos e x-r falhas.
2) Também, a última repetição da experiência resulta necessariamente num sucesso, o r-ésimo sucesso. Se não fosse assim, ou o r-ésimo sucesso já teria sido obtido ( e já teríamos encerrado a experiência), ou o número de sucessos até esta repetição seria menor que r ( e deveríamos continuar até encontrar o r-ésimo sucesso). Isto explica o coeficiente Binomial que aparece, com "limites" x-1 e r-1, pois das x-1 repetições antes da última, existem r-1 sucessos.
Esta é a densidade Binomial Negativa na primeira parametrização. A exemplo do que ocorre com a densidade Geométrica, aqui também existe uma parametrização alternativa, dada a seguir.
Parametrização Alternativa da Densidade Binomial Negativa
Neste caso a variável X mede o número de falhas antes do r-ésimo sucesso.
Notação : X ~ NBin(r,p)
Média e
Variância da Densidade Binomial Negativa
|
|
 |
 |
|
|
o r-esimo sucesso |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Resumo: Relação entre tentativas de Bernoulli e as distribuições Binomial Negativa, Geométrica, Binomial e Bernoulli.
Considere uma sequência de tentativas de Bernoulli independentes e com prob. constante de sucesso p. Então, se:
i) X = número de tentativas até encontrar o primeiro sucesso Þ X ~ Geom (p) na primeira parametrização
ii) X = número de falhas até o primeiro sucesso Þ X ~ Geom (p) na segunda parametrização
iii) X = tentativa onde ocorre o r-ésimo sucesso Þ X ~ NBin (r,p) na primeira parametrização
iv) X = número de falhas antes do r-ésimo sucesso Þ X ~ NBin (r,p) na segunda parametrização
v) Geom( p ) = NBin(1,p), ou seja, a distribuição geométrica é um caso particular da Binomial Negativa em qualquer uma das parametrizações.
vi) Se X = número de sucessos em um número fixo n de tentativas, então X tem densidade Bin( n,p ).
vii) Se o número de tentativas (n) na distribuição Binomial é 1, então X é uma variável aleatória com densidade Bernoulli( p ). Assim, as densidades Geométricas e Bernoulli são apenas casos particulares das densidades Binomial Negativa e Binomial, respectivamente.
É importante perceber que, no caso da densidade Binomial, o número de tentativas é fixo e igual a n. Por isso, os valores de uma variável aleatória Bin( n,p ) estão restritos ao conjunto 0,1,...,n. Ao contrário, nos casos das densidade Geométrica e Binomial Negativa, não existe uma "regra de parada" fixa, isto é, a experiência é feita até que uma certa condição seja observada, a saber, até que observemos o primeiro sucesso (Geométrica) ou o r-ésimo sucesso (Binomial Negativa). Desta forma, o conjunto de valores possíveis de variável aleatória Geométricas e Binomiais Negativas não é limitado acima por qualquer número, e então estas variável aleatória são definidas para 0,1,2,.... Isto também explica por que o coeficiente Binomial que aparece na definição da densidade Binomial Negativa é :( r+x-1 )!/( x!.( r-1 )! ) ao invés de ( r+x )!/( x!.r! ).
Devemos notar que isso decorre da "regra de parada" da densidade Binomial Negativa. Como a experiência só termina ao observarmos o r-ésimo sucesso, a última tentativa é automaticamente fixa ( é um sucesso !), e daí o coeficiente Binomial se altera da maneira indicada acima.