O observador estudado tem uma certa redundância, i.e., ele estima o estado todo (de n componentes), quando, na realidade, alguns estados já são "dados" na resposta, a qual é uma combinação linear das variáveis de estado.

Para ver isto, considere-se o seguinte sistema
 

(1)

Ora, é claro que x₂ = y. Então, basta estimar x₁.

E não há perda de generalidade em supor o sistema nesta forma, bastando que o posto de C seja cheio. Com efeito, seja o sistema na forma geral
 

(1a)

com a hipótese que posto .
Definamos , onde D é uma matriz qualquer tal que Q seja não-singular. (É claro que D tem n-p linhas).

Definamos a transformação x := Q.
 

Particionemos

Particionemos também

Ora,
 

(1b)

Mas

Então, de (1b) temos

Consequentemente, se C tem posto cheio, basta estimar x₁, o qual tem dimensão n - p.

De (1), nosso sistema pode ser decomposto em
 

Ora, considere-se o sub-sistema
 

(2)

Ora, de (1), sendo (C,A) observável, de acordo com o critério PBH,
 
 

(2a)

Mas,

Como a matriz da esquerda é não-singular , temos em vista de (2a),

<=> Sistema (2) é observável.

Seja
 

v := A12.x2 + B1.u

(3)

Então, de (2), temos
 

(2')

Vamos estimar o estado deste sub-sistema.

Seja
 

(5)

Escolhamos L tal que . Isto é sempre possível porque (2’) é observável, como vimos.

Então (5) dá a estimação de x₁.

Entretanto queremos um observador cujas entradas sejam as realmente disponíveis no sistema (1), a saber, u e y.

Ora,
 

v = A12.y + B1.u

(3')

z = A21.x1 = 2 - A22.x2 - B2.u   =  - A22.y - B2.u

(4)

Substituindo (3’) e (4) em (5), vem
 

le = (A11 + L.A21).xle - L.  + L.A22.y + L.B2.u + A12.y + B1.u

(6)

Os comandos deste observador ainda não são satisfatórios, porque aparece . Para contornar esta dificuldade, defina-se
 

w(t) = xle(t) + L.y(t) xle = w - L.y

(7)

Substituindo isto em (6), obtém-se
 

(8)

(8) está "à feição", i.e. na forma desejada para um observador, pois suas entradas são os sinais efetivamente disponíveis.

Claro que, obtido w(t) na saída do observador, x_1e será dado por (7).

Definamos, para não sobrecarregar a notação
 

Bw := B1 + L.B2 -Le := A12 + L.A22 - (A11 + L.A21).L

Temos então o diagrama de blocos:
 

É claro que o estado estimado será
 

(9)

notando-se que y não é uma estimação, mas o próprio "sub-vetor" de x.
 
 

Observação: é claro que o observador de ordem reduzida é muito mais trabalhoso para calcular seus parâmetros, tanto mais que (1) está na forma:

A saída [x_le   y]^Ttem ainda que ser pré-multiplicada por Q^-1 para se obter a estimação do estado no sistema original .

• Exemplo