ONDAS DE RAYLEIGH (Ondas de Superfície)

EQUAÇÃO GOVERNANTE NAVIER

Uma derivação geral da equação de propagação de onda de superfície é apresentada a seguir. Assumindo que o material com o qual estamos preocupados é um “semi-espaço” homogêneo, isotrópico, linear elástico com uma superfície livre. Ondas nesse meio obedecem à equação governante de Navier:

\begin{equation} \label{Navier} {\color {black} (\lambda+\mu)\bigtriangledown \bigtriangledown \bar{u}+\mu \bigtriangledown^{2}\bar{u}=\rho \frac{\partial^{2} \bar{u}}{\partial t^{2}}} \end{equation} (1)

Em que \lambda e \mu são a primeira e segunda constantes elásticas de Lamé do meio, respectivamente, \rho é a densidade de massa, \bar{u} é vetor deslocamento e t é o tempo.

Utilizando o método da decomposição de Helmholtz obtemos: \begin{equation} \label{eq Helmholtz} {\color {black} \bar{u}=\bigtriangledown \varphi+\bigtriangledown \times \bar{\psi}}\end{equation}(2)

Em que: \bigtriangledown \cdot \bar{\psi}=0

Substituindo a Eq. (2) em Eq. (1), obtém-se:

\begin{equation} \color {black} \bigtriangledown [(\lambda + 2 \mu)\bigtriangledown^{2} \varphi-\rho \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}]+\bigtriangledown \times [\mu \bigtriangledown^{2}\bar{\psi}-\rho \frac{\partial^{2} \bar{\psi}}{\partial t^{2}}] =0 \end{equation}

A solução da equação mostrada acima é obtida pelas seguintes equações de onda longitudinais e transversais, respectivamente,

\begin{equation} \color {black} \bigtriangledown^{2}\phi-\frac{1}{c_L^{2}} \ddot{\phi} =0 \end{equation}

\begin{equation}\color {black} \bigtriangledown^{2}\bar{\psi}-\frac{1}{c_T^{2}} \ddot{\psi} =0 \end{equation}

Em que c_L é a velocidade de propagação das onda de corpo longitudinal e c_T é a velocidade de propagação das onda de corpo transversais ou de cisalhamento.

\begin{equation}\color {black}c_L=\sqrt{\frac{\lambda+2 \mu}{\rho}}\end{equation}

\begin{equation}\color {black} c_T=\sqrt{\frac{ \mu}{\rho}}\end{equation}