ONDAS DE RAYLEIGH (Ondas de Superfície)

SOLUÇÃO HARMÔNICA

Dado que o problema em questão trata de solução harmônica das equações de onda, \bigtriangledown^{2}\phi-\frac{1}{c_L^{2}} \ddot{\phi} =0 e \bigtriangledown^{2}\bar{\psi}-\frac{1}{c_T^{2}} \ddot{\psi} =0 , propagando-se direção x e distribuídas ao longo da direção z, onde z cresce positivamente para maiores profundidades do semi-plano, chega-se em

\begin{equation}\color{black}\phi=D_1(z) e^{j(k x - w t)}\end{equation}

\begin{equation}\color{black}\psi=D_2(z)e^{j(k x - w t)}\end{equation}

onde k é o número de onda, e \omega é frequência angular, por fim, D_1(z) e D_2(z) são funções que representam o comportamento ao longo do eixo z.

Impondo um único número de onda (k) para ambas as polarizações, uma vez que procura-se soluções em que ambas as polarizações formem uma única onda resultante (onda de Rayleigh).

Agora, substituindo a representação harmônica das ondas na equação de dilatação:

\begin{equation}\color{black}\bigtriangledown^2 \varphi-\frac{1}{c_L ^2} \ddot{\varphi} \left[-k^2 D_1(z)+D_1(z)_{z z} + \frac{w^2}{c_L^2} D_1(z)\right]e^{j(k x-w t)} =0\end{equation}

Simplificando as equações diferenciais presentes, assumindo decaimento para z positivo, é possível escrever Eqs.(1) e (2) da seguinte forma:

\begin{equation} \label{eq D_1}\color{black} D_1(z)=Ae^{-k z \sqrt{1-\frac{c^2}{c_L^2} }}\end{equation} (1)

\begin{equation} \label{eq D_2}\color{black} D_2(z)=Be^{-k z \sqrt{1-\frac{c^2}{c_T^2} }}\end{equation}(2)

Reescrevendo a expressão completa de \phi e \psi:
\begin{equation}\color{black}\phi= Ae^{-k z \sqrt{1-\frac{c^2}{c_L^2} }} e^{j k(x - c t)}\end{equation}

\begin{equation}\color{black}\psi= Be^{-k z \sqrt{1-\frac{c^2}{c_T^2} }} e^{j k(x -c t)}\end{equation}

Com os resultados obtidos para \phi e \psi pode-se escrever a expressão completa do deslocamento \bar{u}:

\begin{equation}\color{black}u_x=k\left(j Ae^{-k z \sqrt{1-\frac{c^2}{c_L^2} }}+ \sqrt{1-\frac{c^2}{c_T^2}}Be^{-k z \sqrt{1-\frac{c^2}{c_T^2} }}\right) e^{j k(x -c t)}\end{equation}

\begin{equation}\color{black}u_z=k\left(-\sqrt{1-\frac{c^2}{c_L^2}} Ae^{-k z \sqrt{1-\frac{c^2}{c_L^2} }}+j Be^{-k z \sqrt{1-\frac{c^2}{c_T^2} }}\right) e^{j k(x - c t)}\end{equation}