Suponha que estamos interessados em estudar o efeito de um circuito complexo sobre um par de terminais, a e b. Dependendo da aplicação, esses podem ser os terminais de um único elemento ou até mesmo de um sub-circuito.

Podemos enunciar o teorema da seguinte forma:

Dado um circuito contendo resistores e fontes, o seu Circuito Equivalente de Thévenin com relação a um certo par de terminais é obtido substituindo-se o circuito original por uma fonte independente de tensão V_th em série com uma resistência R_eq. V_th é o valor da tensão em aberto entre os terminais e R_eq é o valor da resistência equivalente vista pelos terminais quando estes estão em aberto e todas as fontes independentes estão desligadas.

Em outras palavras: o efeito de qualquer circuito complexo sobre um dado par de terminais pode ser estudado substituindo-se o circuito complexo por uma associação em série de uma fonte independente de tensão e de uma resistência. A figura 1 ilustra esse processo.

O teorema de Thévenin é considerado um dos teoremas mais importantes que existem na teoria de circuitos elétricos. O nome do teorema se refere ao engenheiro francês que o publicou pela primeira vez; acredita-se, todavia, que boa parte dos resultados obtidos por Thévenin foram conseqüência de estudos anteriores de H. Helmholtz, um grande pesquisador na área do eletromagnetismo.

Para aplicarmos o teorema de Thévenin é necessário, portanto, sabermos como calcular a tensão em aberto V_th e a resistência equivalente R_eq vista pelos terminais. Existem várias formas de se obter esses resultados; algumas mais específicas, outras mais gerais. Optamos por explicar primeiramente os métodos mais específicos, através de exemplos, para em seguida citarmos rapidamente alguns outros métodos interessantes.

O primeiro exemplo compreende circuitos contendo apenas fontes independentes e resistores, enquanto o segundo exemplo trata de circuitos contendo fontes controladas. Em seguida, um terceiro exemplo será dado como demonstração de um método mais genérico.

EXEMPLO 2.1: CIRCUITOS CONTENDO FONTES INDEPENDENTES E RESISTORES

Para o circuito ilustrado abaixo, determine o valor da resistência R de forma que a corrente que o atravessa seja igual a 10mA.

É importante que o aluno, neste momento, reflita sobre a utilidade do Teorema de Thévenin. Alguém poderia perguntar: "Mas para quê eu vou usar um teorema que eu nem conheço pra resolver um circuito que eu sei resolver usando as Leis de Kirchhoff ou até mesmo o Princípio da Superposição?".

Essa é uma excelente pergunta. É verdade que as Leis de Kirchhoff, por si só, são capazes de solucionar qualquer circuito, da mesma forma que as Equações de Maxwell solucionam qualquer problema do Eletromagnetismo. A vantagem do uso do Teorema de Thévenin está na simplicidade de se fazer alterações no elemento sobre o qual queremos avaliar o efeito do circuito. Isso será melhor compreendido no final desse exercício.

Para aplicar o teorema de Thévenin, precisamos inicialmente identificar a parte do circuito que queremos substituir por um circuito mais simples. Como estamos interessados no efeito do circuito sobre o resistor R, vamos aplicar o teorema de Thévenin com relação aos terminais do próprio resistor R. Vamos chamar esses terminais de a e b.

PASSO #1: Obter o valor da tensão V_th

A tensão V_th é, por definição, o valor da tensão em aberto entre os terminais a e b. Portanto, substituimos o resistor R por um circuito aberto.

Note que o resistor de 100W que estava em série com R no circuito original não irá interferir na tensão em aberto entre a e b, pois não circula corrente por ele. Assim, a tensão entre os terminais será a tensão no resistor de 50W da direita. A figura 2.3 mostra esse raciocínio.

Podemos calcular essa tensão aplicando a Lei dos Nós no supernó que engloba os terminais da fonte de tensão de 8V:

PASSO #2: Obter o valor da resistência R_eq

Para este circuito, no qual existem apenas fontes independentes e resistores, a resistência equivalente vista pelos terminais a e b pode ser obtida desligando-se as fontes, ou seja, substituindo as fontes de tensão por um curto-circuito e as fontes de corrente por um circuito aberto.

Assim, o circuito resultante é ilustrado na figura abaixo. Note que é possível, neste momento, obter a resistência equivalente entre os terminais através de simplificação de resistores.

Os dois resistores de 50W encontram-se em paralelo, portanto podem ser substituídos por um resistor de 25W. Este, por sua vez, está em série com o resistor de 100W. Portanto:

O circuito equivalente de Thévenin calculado se encontra desenhado na figura 2.5. Nesse momento, para verificar seu efeito sobre o resistor R, precisamos reconectá-lo aos seus terminais de origem, ou seja, os terminais a e b. Como se pode observar, o circuito obtido é um circuito série, que é muito mais simples que o circuito original.

Pelo enunciado do problema, sabemos que a corrente que atravessa o resistor R é de 10mA. Como se trata de um circuito série, essa é a mesma corrente que circula nos demais elementos. Assim:

Que é a resposta ao problema proposto.

Uma grande vantagem que o Teorema de Thévenin oferece em relação à resolução através das Leis de Kirchhoff é a seguinte: o aluno descobre que na sua bancada de laboratório não existe resistor de 375W; o mais próximo é de 390W. Qual seria a corrente que percorreria o resistor nesse caso?

No nosso caso, a resposta é imediata:

Se nosso método de resolução fosse a simples aplicação das equações de nós e malhas, provavelmente seria necessário refazer todo o problema desde o início.

EXEMPLO 2.2: CIRCUITOS CONTENDO FONTES INDEPENDENTES, FONTES CONTROLADAS E RESISTORES

Calcule o valor do resistor R, conectado aos terminais a e b do circuito abaixo, de forma que ele drene uma corrente de 1A.

Esse problema se diferencia do anterior pois os métodos utilizados naquele exemplo podem não ser aplicáveis a circuitos contendo fontes controladas. Os principais cuidados que devem ser tomados com a aplicação do Teorema de Thévenin a circuitos contendo fontes controladas são:

A parte do circuito com relação à qual será aplicado o teorema, se possuir fontes controladas, também deverá conter os elementos controladores destas fontes.
Fontes controladas não podem ser desligadas como fontes independentes.

No nosso problema, o elemento que controla a fonte controlada (a corrente i_X) faz parte do circuito com relação ao qual vamos aplicar o teorema; portanto, a primeira observação acima está sendo satisfeita. Entretanto, como não podemos desligar a fonte controlada para calcular a resistência equivalente, precisaremos de uma nova forma de determiná-la.

PASSO #1: Obter o valor da tensão V_th

Mais uma vez, queremos determinar a tensão entre os terminais a e b quando eles estão em aberto. Assim, substituímos o resistor R por um circuito aberto, como mostra a figura 7 abaixo.

Observe que os resistores de 5W e 10W estão em série, e a associação destes está em paralelo com o resistor de 15W. Logo, eles podem ser simplificados por uma resistência equivalente dada por:

A corrente que circula na malha é a própria corrente i_X, que é dada por:

A corrente que circula pelo ramo inferior é, portanto,

A tensão no nó a vale, portanto,

Como o nó b está conectado ao terra, a tensão em aberto entre os nós a e b é dada por:

PASSO #2: Obter o valor da resistência R_eq

Devido à presença da fonte controlada, não é possível calcular diretamente a resistência equivalente (isto é, através de simplificação de resistores). Por esta razão, apresentamos agora um método indireto de se calcular a resistência.

A figura abaixo mostra o circuito equivalente de Thévenin de um circuito qualquer. Suponha que um curto-circuito foi realizado em seus terminais.

A corrente que percorre o circuito é dada por:

Ou seja: a resistência equivalente enxergada por um par de terminais pode ser calculada através da razão entre a tensão em aberto e a corrente de curto-circuito.

Considere, portanto, o circuito em questão onde foi feito um curto-circuito entre os terminais a e b. O circuito pode ser redesenhado de acordo com a figura abaixo:

Calculamos o valor das correntes que passam pelos resistores:

EXEMPLO 2.3: CIRCUITOS CONTENDO APENAS FONTES CONTROLADAS E RESISTORES
(MÉTODO DO CASO GERAL)

O único caso que resta analisar é o de circuitos que não contenham fontes independentes. Não existe nenhum método específico para esse caso, e por esse motivo devemos utilizar uma técnica que chamaremos de "caso geral" para determinação do circuito equivalente de Thévenin.

Para explicar essa técnica, vamos examinar o circuito equivalente de Thévenin quando excitado por uma fonte de corrente entre os terminais a e b. Estamos interessados em saber qual a tensão que surgirá entre seus terminais.

Vamos agora substituir o circuito por seu equivalente Thévenin. A figura acima mostra que o valor da tensão que surge em seus terminais, V_O, é dado por:

Em outras palavras: no circuito original (cujo equivalente Thévenin foi ilustrado na fig. 2.10), conecte entre os terminais de interesse uma fonte de corrente de valor i. Em seguida, calcule o valor de V_O que surgirá nos terminais dessa fonte e compare com a expressão acima. O termo independente de i será o valor da tensão de Thévenin e o valor que aparece multiplicando i será a resistência equivalente.

Vamos utilizar este método no seguinte problema:

Determine o circuito equivalente de Thévenin com relação aos terminais a e b do circuito abaixo.

Conectando uma fonte de corrente de valor i aos terminais a e b, verificamos que a tensão que surgirá em seus terminais é a própria tensão nos terminais do resistor de 10W. Assim:

O circuito equivalente de Thévenin, para este caso, é dado apenas por um resistor. Isso acontecerá sempre que não houver fontes independentes no circuito.

É importante que, a essa altura, o aluno já tenha concluído que circuitos equivalentes de Thévenin não contêm fontes controladas, mesmo que o circuito original as contenha. Além disso, o equivalente Thévenin é calculado sempre em relação a um dado par de terminais, ou seja, um mesmo circuito pode ter vários circuitos equivalentes de Thévenin diferentes, dependendo dos terminais escolhidos.

Exemplos Animados