Foi mencionado no exemplo
2 que, embora seja impossível evitar a superposição
entre os pulsos em todos os instantes, é possível eliminar
a interferência entre símbolos em sistemas PAM. A condição
para isto é que o pulso básico p(t) satisfaça à
restrição
(43)
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onde to é o instante de amostragem para deteção da amplitude ao.
A condição que a Transformada de Fourier P(f) do pulso p(t) deve satisfazer para que (43) seja verificada é conhecida como o Primeiro Critério de Nyquist
Para deduzir o primeiro critério
de Nyquist vamos supor to = 0 em (43), ou seja,
(44)
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Pelo teorema da amostragem mostra-se que
um sinal qualquer p(t) amostrado por impulsos apresenta a seguinte Transformada
de Fourier
(45)
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Por outro lado, se p(t) satisfaz a (44),
então
(46)
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Combinando (45) e (46) tem-se então
o primeiro critério de Nyquist
(47)
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Este critério estabelece, portanto, que a soma das versões do espectro P(f) deslocado de múltiplos da freqüência de amostragem 1/T deve ser constante.
Embora (47) tenha sido deduzida como uma condição necessária, é possível mostrar que esta é também uma condição suficiente para a obtenção de (44).
Na Figura 16 são apresentados dois
exemplos de espectros que satisfazem ao primeiro critério de Nyquist
e os pulsos correspondentes, p(t) = Sinc(t/T) e p(t)= Sinc2(t/T).
Figura 16 - Espectros que
satisfazem ao 1o critério de Nyquist e respectivos
pulsos
a)espectro retangular
b)espectro triangular
Faixa Mínima do Pulso Básico para Eliminação da Interferência entre Símbolos
Pode-se verificar facilmente que a interferência entre símbolos não pode ser eliminada se a faixa de freqüências do pulso p(t) for menor do que 1/2T. Para isto basta notar que a soma das versões deslocadas do espectro de um pulso com faixa menor do que 1/2T não pode nunca ser uma constante (Figura17). Existe, portanto, uma faixa mínima que o pulso p(t) deve apresentar para permitir a eliminação da interferência entre símbolos. Esta faixa é chamada de faixa de Nyquist.
Pode-se ainda verificar pela simples inspeção
da Figura 17 que o pulso de faixa mínima terá o espectro
retangular definido por
(48)
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No domínio do tempo, esse pulso
corresponde a
(49)
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Figura 17 - Aplicação
do 1o critério de Nyquist a um pulso de faixa
menor do que 1/2T.
Como a faixa de freqüências
do pulso é limitada pela faixa passante B do canal, para eliminação
da interferência entre símbolos esta deverá, portanto,
atender, no caso de sistemas PAM, a
condição:
(50)
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No caso de sistemas com modulação
de amplitude e fase (ASK,PSK e QAM),
a faixa do sinal digital é o dobro da faixa do pulso básico.
Neste caso, a faixa passante do canal para eliminação da
interferência entre símbolos deverá satisfazer
(51)
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Como se pode observar na Figura 16, se
a freqüência máxima do pulso estiver entre 1/2T e 1/T,
o somatório em (47) ficará reduzido, dentro do intervalo
[0,1/T], a apenas dois temos: P(f) e P(f-1/T). Por outro lado, note-se
que este somatório é uma função periódica
de período 1/T. Basta, então, que a soma seja constante em
um intervalo qualquer de largura 1/T para que se verifique o primeiro critério
de Nyquist. No presente caso, portanto, o primeiro critério de Nyquist
pode ser reduzido a
(52)
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Definindo
(53)
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pode-se expressar (52) na forma
(54)
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Supondo ainda que p(t) é real tem-se
a propriedade
(55)
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Aplicando (55) ao segundo termo de (54)
chega-se a
(56)
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Assim, para satisfazer ao primeiro critério
de Nyquist, um pulso de freqüência máxima entre 1/2T
e 1/T deve ser simétrico em relação à freqüência
1/2T, como indicado na Figura 18.
Figura 18 - Ilustração da propriedade de simetria para obtenção do 1- critério de Nyquist.
O espectro de pulso mais usual que satisfaz
a (56) é o definido por
(57)
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e sua Transformada
de Fourier é dada por
(58)
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A forma de (57) sugere o nome cosseno levantado para este espectro que está ilustrado na Figura 19 para diversos valores do parâmetro a . Como se pode observar em (57) e na Figura 19, este parâmetro, conhecido como fator de roll-off define o excesso de faixa em relação à faixa de Nyquist 1/2T. Por exemplo, a =1 corresponde a um aumento de 100% em relação à faixa de Nyquist.
No domínio do tempo, à medida
que aumenta o valor de a , diminuem as amplitudes dos lobos secundários
do pulso p(t). Para a =0 o espectro se reduz a um espectro retangular e,
neste caso, p(t) = T Sinc(t/T). Para
a =1 tem-se
(59)
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Neste caso, o pulso p(t) se anula, não somente nos instantes t=kT, como também nos instantes t = (2k+1)T/2.
A escolha do fator de roll-off na
prática é, geralmente, uma solução de compromisso.
Por um lado, seria conveniente escolher o menor valor de possível
para minimizar a ocupação de faixa. Por outro lado, espectros
com valores pequenos de a são difíceis de realizar e levam
a pulsos com maiores amplitudes de lobos secundários. Estes pulsos
têm o inconveniente de causar maior interferência entre símbolos
quando há um desvio no instante ideal de amostragem.
Figura 19 - Pulso com espectro em cosseno levantado para diferentes valores do fator de roll-off no domínio do tempo e da freqüência.