Eliminação da Interferência entre Símbolos

Foi mencionado no exemplo 2 que, embora seja impossível evitar a superposição entre os pulsos em todos os instantes, é possível eliminar a interferência entre símbolos em sistemas PAM. A condição para isto é que o pulso básico p(t) satisfaça à restrição
 
(43)

onde to é o instante de amostragem para deteção da amplitude ao.

A condição que a Transformada de Fourier P(f) do pulso p(t) deve satisfazer para que (43) seja verificada é conhecida como o Primeiro Critério de Nyquist

Para deduzir o primeiro critério de Nyquist vamos supor to = 0 em (43), ou seja,
 
(44)

Pelo teorema da amostragem mostra-se que um sinal qualquer p(t) amostrado por impulsos apresenta a seguinte Transformada de Fourier
 
(45)

Por outro lado, se p(t) satisfaz a (44), então
 
(46)

Combinando (45) e (46) tem-se então o primeiro critério de Nyquist
 
(47)

Este critério estabelece, portanto, que a soma das versões do espectro P(f) deslocado de múltiplos da freqüência de amostragem 1/T deve ser constante.

Embora (47) tenha sido deduzida como uma condição necessária, é possível mostrar que esta é também uma condição suficiente para a obtenção de (44).

Na Figura 16 são apresentados dois exemplos de espectros que satisfazem ao primeiro critério de Nyquist e os pulsos correspondentes, p(t) = Sinc(t/T) e p(t)= Sinc2(t/T).
 


Figura 16 - Espectros que satisfazem ao 1o critério de Nyquist e respectivos pulsos
a)espectro retangular
b)espectro triangular


 



Faixa Mínima do Pulso Básico para Eliminação da Interferência entre Símbolos

Pode-se verificar facilmente que a interferência entre símbolos não pode ser eliminada se a faixa de freqüências do pulso p(t) for menor do que 1/2T. Para isto basta notar que a soma das versões deslocadas do espectro de um pulso com faixa menor do que 1/2T não pode nunca ser uma constante (Figura17). Existe, portanto, uma faixa mínima que o pulso p(t) deve apresentar para permitir a eliminação da interferência entre símbolos. Esta faixa é chamada de faixa de Nyquist.

Pode-se ainda verificar pela simples inspeção da Figura 17 que o pulso de faixa mínima terá o espectro retangular definido por
 
(48) 

No domínio do tempo, esse pulso corresponde a
 
(49)


Figura 17 - Aplicação do 1o critério de Nyquist a um pulso de faixa menor do que 1/2T.


 


Como a faixa de freqüências do pulso é limitada pela faixa passante B do canal, para eliminação da interferência entre símbolos esta deverá, portanto, atender, no caso de sistemas PAM, a condição:
 
(50)

No caso de sistemas com modulação de amplitude e fase (ASK,PSK e QAM), a faixa do sinal digital é o dobro da faixa do pulso básico. Neste caso, a faixa passante do canal para eliminação da interferência entre símbolos deverá satisfazer
 
(51)


Pulso de Faixa entre 1/2T e 1/T

Como se pode observar na Figura 16, se a freqüência máxima do pulso estiver entre 1/2T e 1/T, o somatório em (47) ficará reduzido, dentro do intervalo [0,1/T], a apenas dois temos: P(f) e P(f-1/T). Por outro lado, note-se que este somatório é uma função periódica de período 1/T. Basta, então, que a soma seja constante em um intervalo qualquer de largura 1/T para que se verifique o primeiro critério de Nyquist. No presente caso, portanto, o primeiro critério de Nyquist pode ser reduzido a
 
(52)

Definindo
 
(53)

pode-se expressar (52) na forma
 
(54)

Supondo ainda que p(t) é real tem-se a propriedade
 
(55)

Aplicando (55) ao segundo termo de (54) chega-se a
 
(56)

Assim, para satisfazer ao primeiro critério de Nyquist, um pulso de freqüência máxima entre 1/2T e 1/T deve ser simétrico em relação à freqüência 1/2T, como indicado na Figura 18.
 


Figura 18 - Ilustração da propriedade de simetria para obtenção do 1- critério de Nyquist.


 




Pulsos com Espectro em Cosseno Levantado

O espectro de pulso mais usual que satisfaz a (56) é o definido por
 
(57)

e sua Transformada de Fourier é dada por
 
(58)

A forma de (57) sugere o nome cosseno levantado para este espectro que está ilustrado na Figura 19 para diversos valores do parâmetro a . Como se pode observar em (57) e na Figura 19, este parâmetro, conhecido como fator de roll-off define o excesso de faixa em relação à faixa de Nyquist 1/2T. Por exemplo, a =1 corresponde a um aumento de 100% em relação à faixa de Nyquist.

No domínio do tempo, à medida que aumenta o valor de a , diminuem as amplitudes dos lobos secundários do pulso p(t). Para a =0 o espectro se reduz a um espectro retangular e, neste caso, p(t) = T Sinc(t/T). Para
a =1 tem-se
 
(59)

Neste caso, o pulso p(t) se anula, não somente nos instantes t=kT, como também nos instantes t = (2k+1)T/2.

A escolha do fator de roll-off na prática é, geralmente, uma solução de compromisso. Por um lado, seria conveniente escolher o menor valor de possível para minimizar a ocupação de faixa. Por outro lado, espectros com valores pequenos de a são difíceis de realizar e levam a pulsos com maiores amplitudes de lobos secundários. Estes pulsos têm o inconveniente de causar maior interferência entre símbolos quando há um desvio no instante ideal de amostragem.
 


Figura 19 - Pulso com espectro em cosseno levantado para diferentes valores do fator de roll-off no domínio do tempo e da freqüência.