1) Considere o sistema de comunicação da Figura 14 onde é a mensagem transmitida, s é o sinal transmitido, no caso um valor constante, (s = 1 se m = m₁ e s = 0 se m = m₂ ); n é um ruído aditivo que pode ser modelado como uma variável aleatória Gaussiana, independente de s, de média nula e variância     s² = 0,25.

a) Faça um gráfico da probabilidade de erro mínima em função da probabilidade da mensagem m.

b) Supondo agora que o limiar se mantém constante e igual a 0,5 para qualquer valor de P(m₁), faça um           novo gráfico da probabilidade de erro em função de P(m₁).

Figura 14

2) Compare a probabilidade de erro de um sistema de transmissão digital binário que transmite uma das duas funções mostradas na Figura 15a, através de um canal aditivo Gaussiano branco, para 2 diferentes receptores:

a) um filtro casado ao sinal s₁(t) seguido de um detetor de limiar (Figura 15b);

b) um integrador seguido de um detetor de limiar (Figura 15d). Suponha mensagens equiprováveis e limiares ótimos. Repita o problema para os sinais da Figura 15c
 
 

3) Calcule, para os sistemas de transmissão digital do problema anterior a razão E_b/N₀ , necessária para se obter uma probabilidade de erro de 10^-4, onde E_b é a energia média dos sinais transmitidos e N₀ é a densidade espectral de potência do ruído no canal.
 

4) Um pulso p(t) = exp(-t²) é detetado em presença de ruído aditivo Gaussiano branco por um filtro de resposta h(t) = exp(-bt). Calcule a faixa de 3dB do filtro de modo a maximizar a razão sinal-ruído na saída deste, definida como a razão entre o quadrado da amostra do sinal e a variância do ruído.
 

5) Considere um sistema PAM On-Off do Exemplo 1

a) Utilize os resultados obtidos neste exemplo para determinar a probabilidade de erro supondo que a razão E₁/N₀ =10 dB onde E₁ é a energia do sinal s₁(t) e N₀ é o dobro da densidade espectral de potência de ruído no canal.

b) Calcule o aumento (em dB) da energia E₁ de forma a se obter o mesmo desempenho proporcionado pelo filtro casado.
 

6) Duas mensagens equiprováveis são transmitidas através de um sinal PAM On-Off com pulso retangular como definido no problema anterior, com amplitude A =1.
Supondo que o ruído no canal é Gaussiano branco com densidade espectral de potência igual a N₀/2 = 0,01, calcule a duração do pulso necessária para se obter uma probabilidade de erro de 10^-4 com um receptor ótimo.
 

7) Duas mensagens m₁ e m₂ são transmitidas no intervalo [0,T] pelas formas de onda s₁(t)=cos(2p f_ct) e s₂(t)=cos(2p f_ct + p /4), sendo f_c 1/T.

a) Faça um esquema do receptor ótimo para o sistema.

b) Supondo no canal um ruído Gaussiano branco aditivo densidade espectral de potência S_n(f) = 0,05T
calcule a probabilidade de erro mínima supondo sinais equiprováveis;

c) Repita o problema para f_c = 1/T.
 

8) Consideram-se para transmissão dos símbolos 1 e 0, em um mesmo canal, os quatro pares de sinais mostrados na Figura 16.

a) Compare estes quatro pares de sinais em termos do consumo de energia para se obter uma mesma probabilidade de erro. Suponha que as mensagens são equiprováveis, o canal tem um ruído aditivo Gaussiano branco e o receptor é ótimo.

b) Calcule a relação entre as amplitudes dos pulsos nos diferentes pares de sinais de modo a se ter a mesma probabilidade de erro.
 
 

9) Um sinal PCM binário usa o sinal da Figura 17 para representar os símbolos 1 e 0. Este sinal é perturbado por ruído aditivo Gaussiano branco de densidade espectral de potência N₀/2. Os símbolos 1 e 0 são equiprováveis.

a) Determine a estrutura mais simples do receptor ótimo com apenas 1 filtro casado;

b) esboce a forma de onda na saída deste filtro quando a entrada é o sinal s (t) ;

c) determine a probabilidade de erro mínima em função de A, T e N₀ .
 
 

10) Dois sinais s₁(t) e s₂(t) têm a mesma energia E, e transmitem mensagens equiprováveis em um canal com ruido branco Gaussiano com densidade espectral de potência N₀/2 = 0,01. Sabendo que

calcule o valor de E necessário para se obter uma probabilidade de erro de 10^-4 com receptor ótimo.
 

11) Quatro mensagens equiprováveis são transmitidas com as formas de onda mostradas na Figura 18. O canal é perturbado por ruído aditivo Gaussiano branco com densidade espectral de potência N₀/2.

a) Determine a estrutura do receptor ótimo para estes sinais;

b) calcule a probabilidade de erro mínima e expresse esta probabilidade em termos da energia média dos sinais.
 
 

12) Uma transmissão digital quaternária é feita através das formas de onda mostradas na Figura 19 onde está indicada a codificação de símbolos utilizada.

a) Determine a probabilidade de erro e a taxa de erro de bit do receptor ótimo sabendo que a densidade espectral de potência do ruído no canal é igual a A²T/2;

b) mostre que o receptor ótimo pode ser implementado de acordo com a Figura 19 completando o diagrama nos pontos indicados por uma interrogação;

c)escolha uma codificação de símbolos que leve a uma menor taxa de erro de bit.
 

13) Em um sistema de transmissão digital binário, são transmitidos, com mesma probabilidade, dois sinais da forma s₁(t) = g(t)sen(2p f_ct) e s₂(t) = g(t)cos(2p f_ct), onde g(t) é um pulso retangular de amplitude unitária definido no intervalo [0,T], onde T é o intervalo de símbolo.

a) Sabendo que a taxa de bits é igual a 2400 bit/s, calcule a probabilidade de erro mínima em função da variância do ruído quando a frequência da portadora é igual a 3 kHz;

b) determine o valor da frequência da portadora que leva ao menor valor da probabilidade de erro e compare com o resultado anterior.

c) mostre que o receptor ótimo pode ser implementado como na Figura 20 e determine o valor do limiar.