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Detalhes sobre a Modelagem do Sistema
Após a modelagem, através do diagrama de corpo livre e do cálculo do somatório de forças, chega-se a duas equações que descrevem o comportamento do sistema. No entanto, para aplicar as técnicas de controle, essas equações precisam ainda ser linearizadas. O sistema será linearizado no ponto onde se deseja que ele fique em equilíbrio, isto é, com \theta=\pi, e, considerando \phi como sendo um pequena variação em relação à posição de equilíbrio, então podemos definir a posição do pêndulo como \theta = \pi + \phi e realizar as seguintes aproximações:
cos\theta \approx -1
sin\theta \approx -\phi
\dot{\theta^{2}} = \dot{\phi^{2}} = 0
Aplicando as aproximações, chegamos, finalmente, às equações:
\(I+ml^{2} \) \ddot{\phi} - mgl \phi = ml\ddot{x}
\(M+m \) \ddot{x} + b\dot{x} - ml \dot{\phi} = F
Para chegarmos às funções de transferência, é preciso aplicar a transformada de Laplace nas equações linearizadas, que se tornam:
\(I+ml^{2} \) \phi (s)s^{2} - mgl \phi (s) = mlX(s)s^{2}
\(M+m \)X(s)s^{2} + bX(s)s^{2} - ml \phi (s)s^{2} = F(s)
Combinando as equações, obtemos finalmente as funções de transferência para posição do pêndulo e do carro em relação a força F aplicada no carro.
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Onde:
