Para se fazer uma análise mais ampla do problema da modulação digital deve-se considerar um modelo que considere a sequência de bits transmitidos. Este modelo está representado na Figura 22. Como se observa nesta figura, tem-se, genericamente, na entrada do modulador, uma seqüência de L bits para ser transmitida. Como uma seqüência de L bits pode assumir um número M =2^L de configurações distintas, o codificador de canal associa ao conjunto das diferentes seqüências de dígitos binários b₁, b₂,..., b_L um conjunto de mensagens ou símbolos {m_i; i = 1,2 ..., M} e a cada uma destas mensagens é associada uma forma de onda diferente a ser transmitida.
 
 

Taxa de bits e Taxa de símbolos

Está implícito, no modelo descrito acima, que o intervalo de tempo para transmissão da forma de onda deve ser o mesmo associado aos L bits da mensagem. Assim, neste caso, a uma dada taxa de bits R corresponde, obviamente, uma taxa de símbolos, R_s , L vezes menor. Ou seja,
 
 

	(72)
	(73)

 

Probabilidade de erro de símbolo e de bit

Como foi visto anteriormente, o desempenho de um modulador digital é medido pela probabilidade de erro na deteção da mensagem transmitida, a qual corresponde a uma sequência de L bits. Na realidade, o desempenho da transmissão deve levar em conta o efeito dos erros na sequência de bits recuperada. Tem-se portanto dois parâmetros usuais de desempenho: Probabilidade de Erro de Símbolo (mensagem) e Probabilidade (Taxa) de Erro de Bit.

A probabilidade de erro de símbolo pode ser expressa, genericamente, por
 
 

(74)

que pode ser desenvolvida na forma

 

(75)

O cálculo das probabilidades conjuntas em (75) pode ser feito através da análise desenvolvida aqui.

A partir da mensagem detetada , o decodificador gera a seqüência de dígitos . que deve ser uma réplica da seqüência transmitida. A probabilidade ou taxa de erro de bit (BER) pode ser definida como a probabilidade de erro em um bit da sequência escolhido ao acaso. Pode-se verificar que

 

(76)

onde n_e é o número de dígitos binários errados na seqüência e E(n_e) é seu valor esperado, expresso por
 
 

(77)

ou, alternativamente por

 

(78)

onde n_ij é o número de bits errados quando se transmite m_i e se deteta m_j. Esta expressão permite visualizar
a dependência entre erros de símbolo e erros de bit.

A taxa de erro de bit pode ser estimada em uma transmissão seqüencial como a razão entre o número de bits errados e o número total de bits transmitidos.
 

Codificação de Gray

É possível, em geral, fazer a associação das sequências de bits às diferentes mensagens de tal forma que os erros mais frequentes no símbolo detetado impliquem em 1 bit errado na sequência de bits recuperada. Esta forma de codificação é denominada Codificação de Gray.

Exemplo

Aproximação

Nos sistemas de modulação de amplitude e fase é usual a seguinte aproximação para relacionar a taxa de erro de bit à probabilidade de erro de símbolo:
 
 

(79)

Este resultado pode ser obtido considerando apenas o primeiro termo do somatório em (77). Neste caso
 
 

(80)

Considerando que, na codificação de Gray os símbolos mais próximos diferem apenas em 1 bit e que na condição usual de razão sinal-ruído alta, a grande maioria dos erros corresponde a erro do símbolo correto para o símbolo vizinho, , levando assim a (79).