Distribuição Geométrica

A distribuição Geométrica, da mesma forma que a Binomial, está relacionada com uma seqüência de tentativas de Bernoulli independentes. Mas, ao contrário da densidade Binomial, uma experiência que gera uma variável Geométrica não tem um número de repetições fixo.

Considere uma seqüência de tentativas de Bernoulli independentes, e suponha que X é uma variável aleatória discreta que mede o número de tentativas necessárias até encontrar o primeiro sucesso. Então, os resultados da experiência têm a forma :
 
S
X = 1
FS
X = 2
FFS
X = 3
FFFS
X = 4
FFFFS
X = 5
..........
..........
FFFFF......FS
X = n
onde S denota um sucesso e F indica uma falha. Note que neste tipo de experiência a última repetição é sempre um sucesso, e todas as repetições anteriores foram falhas. Se p indica a probabilidade de um sucesso, e q = 1-p representa a probabilidade de falha, então :

Pr( X = 1) = Pr{ S } = p

Pr( X = 2 ) = Pr{ FS } = q.p

Pr( X = 3 ) = Pr{ FFS } = q2.p

Pr( X = 4 ) = Pr{ FFFS } = q3.p

.......

Pr( X = n) = Pr { FFFFF....FS } = qn-1.p

De uma maneira geral, se X tem densidade Geométrica com parâmetro p a sua densidade é :

Nesta parametrização X mede o número de tentativas necessárias até encontrar o primeiro sucesso.

Esta densidade soma a 1 (verifique !).

Nota :

Existe uma parametrização alternativa da densidade Geométrica, dada por :

f (x) = p.(1-p)x se x = 0,1,2,...

Nesta parametrização alternativa, a variável X representa o número de falhas antes do primeiro sucesso.

Notação : X ~ Geom(p)
 

Média e variância de uma variável aleatória Geométrica

Se X ~ Geom ( p ) então:
 
Parametrização ®
f(x) = p.qx-1
f(x) = p.qx
Significado de X
número de tentativas até o primeiro sucesso 
número de falhas antes do primeiro sucesso
Média
1/p
q/p
Variância
q/p2
q/p2
Nota : série geométrica

O seguinte resultado é muito útil ao lidarmos com a densidade Geométrica

Em particular se o somatório acima começa em x =1 ( ao invés de x = 0) temos :

Exemplos

Propriedades da distribuição Geométrica

1) A densidade Geométrica é uma função decrescente de x para x = 1, 2, 3, .... . Isto é :
Pr ( X = x ) > Pr ( X = x + 1) para x = 1, 2, 3, ..... como indicado no gráfico a seguir.

2) A densidade Geométrica não tem memória , isto é , se X ~ Geom(p) então :

Pr ( X > t + s | X > s ) = Pr ( X > t) para todo t > 0.

Além disso, a densidade Geométrica é a única densidade discreta que apresenta esta propriedade.
 
O que isto quer dizer ? 

A probabilidade de serem necessárias t + s repetições dado que já existiram s repetições da experiência é a mesma que a probabilidade incondicional de serem necessárias mais de t repetições. 

No caso contínuo a densidade Exponencial apresenta a mesma propriedade de "falta de memória". Como a densidade Exponencial é usada para modelar durações de equipamentos, a propriedade de "falta de memória" indica que estes equipamentos cuja duração segue uma densidade Exponencial não sofrem desgaste com o tempo, isto é, a probabilidade deles durarem mais de t + s horas sabendo que eles já duraram s horas é a mesma que a probabilidade de um equipamento novo durar t horas. Esta propriedade torna o uso da densidade Exponencial pouco apropriado para a modelagem da duração de equipamentos onde o desgaste ao longo do tempo é grande.