1 . O custo de realização de uma experiência é R$ 1000. Se a experiência falhar existe um custo adicional de R$ 300. A probabilidade de sucesso em cada realização da experiência é 0.2, e as tentativas são independentes. Supõe-se que a experiência é repetida indefinidamente até encontrarmos o primeiro sucesso. Qual o custo esperado do procedimento completo ? Suponha que o custo máximo que a empresa está disposta a pagar até que a experiência seja completada é R$ 8000. Qual é a probabilidade de que a experiência custe mais do que isso ?

Solução

Seja C a variável aleatória que representa o custo da experiência, e defina X como o número de repetições necessárias até encontrar o primeiro sucesso. Então :

C = 1000.X + 300.(X - 1) = 1300.X - 300

Pela linearidade do valor esperado :

E( C ) = 1300. E( X ) - 300

Mas, X ~ Geom (p = 0.2) e assim E( X ) = 1/0.2 = 5 .Logo o custo esperado da experiência é :
E( C ) = 1300. (5) - 300 = 6200.

Pr ( C > 8000) = Pr ( 1300 X - 300 > 8000) = Pr( X > 6.38) =

= Pr ( X ³ 7) = Pr( X = 7) + Pr( X = 8) +..... = 1 - Pr( X < 7) =

= 1 - { Pr( X = 1) + Pr( X = 2 ) + ..... + Pr( X = 5) + Pr( X = 6) } =

= 1 - 0.2[ 1 + 0.8 + (0.8)² + (0.8)³ + (0.8)⁴ + (0.8)⁵ ] = 0.225
 

2 . Considere a variável aleatória discreta X definida no conjunto { 1, 2, 3, ....} e com densidade dada por :

onde x = 1, 2, 3, ....

Calcule a probabilidade de que X seja um número par.

Solução

Note que esta densidade é apenas a densidade Geométrica na primeira parametrização com p = q = 1/2.

Também, Pr ( X ímpar) = Pr( X = 1) + Pr( X = 3) + Pr( X = 5) + ..... = 1 - Pr(X par) = 1 - 1/3 = 2/3