Para se fazer uma análise mais ampla
do problema da modulação digital deve-se considerar um modelo
que considere a sequência de bits transmitidos. Este modelo está
representado na Figura 22. Como se observa nesta figura, tem-se, genericamente,
na entrada do modulador, uma seqüência de L bits para ser transmitida.
Como uma seqüência de L bits pode assumir um número M
=2L de configurações distintas, o codificador
de canal associa ao conjunto das diferentes seqüências de dígitos
binários b1, b2,..., bL um conjunto
de mensagens ou símbolos {mi; i = 1,2 ..., M} e a cada
uma destas mensagens é associada uma forma de onda diferente a ser
transmitida.
Figura 22 - Transmissão digital de sequências de bits
Taxa de bits e Taxa de símbolos
Está implícito, no modelo
descrito acima, que o intervalo de tempo para transmissão da forma
de onda deve ser o mesmo associado aos L bits da mensagem. Assim, neste
caso, a uma dada taxa de bits R corresponde, obviamente, uma taxa de símbolos,
Rs , L vezes menor. Ou seja,
(72)
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(73)
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Probabilidade de erro de símbolo e de bit
Como foi visto anteriormente, o desempenho de um modulador digital é medido pela probabilidade de erro na deteção da mensagem transmitida, a qual corresponde a uma sequência de L bits. Na realidade, o desempenho da transmissão deve levar em conta o efeito dos erros na sequência de bits recuperada. Tem-se portanto dois parâmetros usuais de desempenho: Probabilidade de Erro de Símbolo (mensagem) e Probabilidade (Taxa) de Erro de Bit.
A probabilidade de erro de símbolo
pode ser expressa, genericamente, por
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que pode ser desenvolvida na forma
(75)
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O cálculo das probabilidades conjuntas em (75) pode ser feito através da análise desenvolvida aqui.
A partir da mensagem detetada ,
o decodificador gera a seqüência de dígitos .
que deve ser uma réplica da seqüência transmitida. A
probabilidade ou taxa de erro de bit (BER) pode ser definida como a probabilidade
de erro em um bit da sequência escolhido ao acaso. Pode-se verificar
que
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onde ne é o número
de dígitos binários errados na seqüência e E(ne)
é seu valor esperado, expresso por
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(78)
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onde nij é o número
de bits errados quando se transmite mi e se deteta mj.
Esta
expressão permite visualizar
a dependência entre erros de símbolo
e erros de bit.
A taxa de erro de bit pode ser estimada
em uma transmissão seqüencial como a razão entre o número
de bits errados e o número total de bits transmitidos.
Codificação de Gray
É possível, em geral, fazer a associação das sequências de bits às diferentes mensagens de tal forma que os erros mais frequentes no símbolo detetado impliquem em 1 bit errado na sequência de bits recuperada. Esta forma de codificação é denominada Codificação de Gray.
Aproximação
Nos sistemas de modulação
de amplitude e fase é usual a seguinte aproximação
para relacionar a taxa de erro de bit à probabilidade de erro de
símbolo:
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Este resultado pode ser obtido considerando
apenas o primeiro termo do somatório em (77). Neste caso
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Considerando que, na codificação de Gray os símbolos mais próximos diferem apenas em 1 bit e que na condição usual de razão sinal-ruído alta, a grande maioria dos erros corresponde a erro do símbolo correto para o símbolo vizinho, , levando assim a (79).