[en] AN INTRODUCTION TO ELLIPTIC CURVES OVER FINITE FIELDS

[pt] UMA INTRODUÇÃO ÀS CURVAS ELÍPTICAS SOBRE CORPOS FINITOS

[pt] EDUARDO VIEIRA DE OLIVEIRA AGUIAR

[pt] CURVA ELIPTICA

[pt] CORPO FINITO

[pt] CURVA ALGEBRICA

[en] ELLIPTIC CURVE

[en] FINITE FIELD

[en] ALGEBRAIC CURVE

[pt] Curvas elípticas são objeto de estudo pelos matemáticos há mais de 200 anos. Por si só, é uma teoria bastante interessante por estar relacionada com diversas áreas da matemática: álgebra, equações diofantinas e geometria algébrica, dentre outras. Recentemente, diversos pesquisadores sugeriram o uso de curvas elípticas para resolver problemas práticos; como exemplos, podemos citar a criptografia, algoritmos para fatoração de números inteiros e testes de primalidade. Uma curva elíptica é definida sobre um corpo (no sentido algébrico). Essa dissertação tem por objetivo apresentar os primeiros elementos da teoria das curvas elípticas sobre corpos finitos. Como veremos, o desenvolvimento do tema aborda diversos tópicos da educação básica. Para isso, iniciaremos o trabalho com uma introdução utilizando o corpo dos números reais e, em seguida, incluiremos a teoria mais geral sobre essas curvas algébricas. Concluiremos então com algumas propriedades e resultados de curvas elípticas sobre corpos finitos, incluindo alguns exemplos e a interpretação geométrica da soma de dois pontos de curvas sobre corpos finitos específicos.

[en] Elliptic curves have been studied by mathematicians for over 200 years. By itself, it is a remarkably interesting theory as it is related to several areas of mathematics: algebra, Diophantine equations and algebraic geometry, among others. Recently, several researchers have suggested the use of elliptic curves to solve practical problems; as examples, we can mention cryptography, integer factorization algorithms and primality tests. An elliptic curve is defined over a field (in algebraic sense). This dissertation aims to present the first elements in the theory of elliptic curves on finite fields. As we will see, the development of the subject addresses a number of topics covered in basic education. In order to accomplish this, we will start the work with an introduction using the field of real numbers and then we will include the more general theory about these algebraic curves. Finally, we will present some properties and results on elliptic curves over finite fields, including some examples and a geometric interpretation of the sum of two points over specific finite fields.

NICOLAU CORCAO SALDANHA

RENATA MARTINS DA ROSA

NICOLAU CORCAO SALDANHA

CHRISTINE SERTA COSTA

CARLOS GUSTAVO TAMM DE ARAUJO MOREIRA

EMILIA CAROLINA SANTANA TEIXEIRA ALVES

2021-07-14

2021-07-02

[pt] TEXTO

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https://doi.org/10.17771/PUCRio.acad.53709